《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

11. 如图 14.3 - 22，四边形$ABCD$中，$AC$平分$\angle BCD$，$\angle ABD + \angle ABC = 180^{\circ}$，若$\angle ADC = m$，$\angle BCD = n$，则$\angle ABD$的度数为(D)

A.$m - n$
B.$\frac{m}{2}+\frac{n}{2}$
C.$145^{\circ}-\frac{m}{2}+n$
D.$m+\frac{n}{2}-90^{\circ}$

答案： 11.D

12. 【教材再现】
人教版教科书介绍了用尺规作图作角平分线，作法如下：
如图甲，以$O$为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线$OA$，$OB$于点$C$，$D$。分别以点$C$，$D$为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径作弧，两弧在$\angle AOB$内部交于点$M$。作射线$OM$。则射线$OM$为$\angle AOB$的平分线。
(1)这种用尺规作图作$\angle AOB$的平分线的方法的数学知识源是全等三角形的对应角相等，那么这里证明三角形全等的依据是SSS。
【数学思考】
如图乙，在学习了这个尺规作图作角的平分线后，小亮同学又研究了用一个直角三角尺画角的平分线的方法：
用三角尺上的刻度，在$OA$，$OB$上分别截取$OC$，$OD$，使$OC = OD$。过$C$作$CE\perp OB$，垂足为$E$。过$D$作$DF\perp OA$，垂足为$F$；$CE$，$DF$交于点$M$。作射线$OM$。
(2)请根据小亮同学的方法画出图形，并证明$OM$平分$\angle AOB$。
【问题解决】
(3)如图丙，已知四边形$ABCD$中，$\angle ABC + \angle D = 180^{\circ}$，$AC$平分$\angle BAD$，$CH\perp AB$于点$H$。请直接写出线段$AB$，$AD$，$AH$之间的数量关系。

答案：
12.
(1)SSS
(2)如图，
∵CE⊥OB,DF⊥OA，
∴∠CEO=∠DFO=90°.
在△OCE和△ODF中，
$\begin{cases} ∠CEO = ∠DFO, \\ ∠COE = ∠DOF, \\ OC = OD, \end{cases}$

∴△OCF≌△ODF(AAS).
∴OE=OF.
在Rt△OME和Rt△OMF中，
$\begin{cases} OM = OM, \\ OE = OF, \end{cases}$
∴Rt△OME≌Rt△OMF(HL).
∴∠MOE=∠MOF.
∴OM平分∠AOB.
(3)AB+AD=2AH