《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

$8. i ^ { 2 } = - 1 ，$并且$ i $满足学过的运算律，则$ ( 1 + i ) \cdot ( 2 - i ) $运算结果是$($　　$D$　　$)$　　

A. 3 - i
B. 2 + i
C. 1 - i
D. 3 + i

答案： 8.D

$9. $已知$ a b = a + b + 1 ，$则$ ( a - 1 ) ( b - 1 ) = $　　$2$　　$.$　　

答案： 9.2

$10. $如图$16.2-8，$有足够多的长方形和正方形卡片，　　
$(1) $如果选取$1$号，$2$号，$3$号卡片分别为$1$张，$3$张，$4$张，可拼成一个长方形$($不重叠无缝隙$)，$请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形所表示的一个等式；　　
$(2) $小明想用类似方法解释多项式乘法$ ( a + 3 b ) ( 2 a + b ) = 2 a ^ { 2 } + 7 a b + 3 b ^ { 2 } ，$那么需用$1$号卡片　　$2$　　张，$2$号卡片　　$3$　　张，$3$号卡片　　$7$　　张$.$　　

答案：
$10.(1)(a + b)(a + 3b)=a^{2}+4ab + 3b^{2} $画图如右图
(2)2 3 7

$11. $我国南宋时期杰出的数学家杨辉$（$钱塘$（$今杭州$）$人$），$下面的图表是他在$《$详解九章算术$》$中记载的$“$杨辉三角$”.$　　

此图揭示了$ ( a + b ) ^ { n } （ n $为非负整数$）$的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过$7$天还是星期三，那么再过$ 8 ^ { 2025 } $天是星期几$？$　　

答案： 11.解:
∵$8^{2025}=(7 + 1)^{2025}=7^{2025}+m×7^{2024}×1^{1}+n×7^{2023}×1^{2}+p×7^{2022}×1^{3}+⋯+q×7×1^{2024}+1^{2025},$其中m,n,p,q为常数，
∴$8^{2025}$除以7的余数为1.
∵今天是星期三,再过7天还是星期三,
∴再过$8^{2025}$天是星期四.

$12. $观察：　　
$ ( x - 1 ) ( x + 1 ) = x ^ { 2 } - 1 ，$$ ( x - 1 ) ( x ^ { 2 } + x + 1 ) = x ^ { 2 } - 1 ，$　　
$ ( x - 1 ) ( x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 ) = x ^ { 4 } - 1 ，$$ ( x - 1 ) ( x ^ { 3 } + x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 ) = x ^ { 5 } - 1 ，$　　
$…$　　
利用以上规律确定$ 2 ^ { 2025 } + 2 ^ { 2024 } + 2 ^ { 2023 } + \cdots + 2 ^ { 2 } + 2 + 1 $的个位数字是　　$3$　　$.$　　

答案： 12.3