《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

6. 若$(m - n)^{2}=50$，$(m + n)^{2}=4000$，则$m^{2}+n^{2}$的值为(B)

A.2050
B.2025
C.3950
D.4050

答案： 6.B

7. 若$a + b = 5\sqrt{3}$，$ab = 12$，则$a - b$的值为±3√3.

答案： 7.± 3√3

8. 计算：
(1)$(2a - 3)^{2}-(a + 5)(a - 5)$；
(2)$(x + 3)(x - 3)(x^{2}-9)$.

答案： 1. （1）
解：
首先，根据完全平方公式$(m - n)^2=m^{2}-2mn + n^{2}$，其中$m = 2a$，$n = 3$，可得$(2a-3)^{2}=(2a)^{2}-2×(2a)×3 + 3^{2}=4a^{2}-12a + 9$。
然后，根据平方差公式$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，其中$m = a$，$n = 5$，可得$(a + 5)(a - 5)=a^{2}-25$。
最后，$(2a - 3)^{2}-(a + 5)(a - 5)$
$=(4a^{2}-12a + 9)-(a^{2}-25)$
$=4a^{2}-12a + 9 - a^{2}+25$
$=(4a^{2}-a^{2})-12a+(9 + 25)$
$=3a^{2}-12a + 34$。
2. （2）
解：
先根据平方差公式$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，对于$(x + 3)(x - 3)$，这里$m = x$，$n = 3$，则$(x + 3)(x - 3)=x^{2}-9$。
所以$(x + 3)(x - 3)(x^{2}-9)=(x^{2}-9)(x^{2}-9)$。
再根据完全平方公式$(m - n)^2=m^{2}-2mn + n^{2}$（这里$m = x^{2}$，$n = 9$），$(x^{2}-9)^{2}=(x^{2})^{2}-2× x^{2}×9 + 9^{2}$。
即$(x^{2}-9)^{2}=x^{4}-18x^{2}+81$。
综上，（1）的结果是$3a^{2}-12a + 34$；（2）的结果是$x^{4}-18x^{2}+81$。

9. 先化简，再求值：$(x + 2y)^{2}+(x + y)(x - y)-3y^{2}$，其中$x=-1$，$y = 2$.

答案： 9.解：原式=x² + 4xy + 4y² + x² - y² - 3y²=2x² + 4xy，
当x=-1,y = 2时，原式=2×(-1)² + 4×(-1)×2=2 + (-8)=-6.

10. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了$(a + b)^{n}$($n$为非负整数)展开式的项数及各项系数的相关规律.
例如：$(a + b)^{0}=1$，它只有一项，系数为 1；
$(a + b)^{1}=a + b$，它有两项，系数分别为 1，1，系数和为 2；
$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，它有三项，系数分别为 1，2，1，系数和为 4.

根据以上规律，解答下列问题：
(1)$(a + b)^{5}$展开式共有6项，系数和为32.
(2)求$(2a - 1)^{5}$的展开式.
(3)利用表中规律计算：$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2 - 1$(不用表中规律计算不给分).
(4)设$(x + 1)^{17}=a_{17}x^{17}+a_{16}x^{16}+\cdots + a_{1}x + a_{0}$，求$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots + a_{16}+a_{17}$的值.
]

答案： 10.解：
(1)6 32
(2)(2a - 1)⁵=2⁵a⁵ + 5×2⁴a⁴(-1) + 10×2³a³(-1)² + 10×2²a²(-1)³ + 5×2a·
(-1)⁴ + (-1)⁵=32a⁵ - 80a⁴ + 80a³ - 40a² + 10a - 1.
(3)根据图表中数据的规律可以发现：
2⁵ - 5×2⁴ + 10×2³ - 10×2² + 5×2 - 1=(2 - 1)⁵，
∴2⁵ - 5×2⁴ + 10×2³ - 10×2² + 5×2 - 1=1.
(4)
∵(x + 1)¹⁷=a₁₇x¹⁷ + a₁₆x¹⁶ + …+a₁x + a₀，
∴当x = 1时，(1 + 1)¹⁷=a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + …+a₁₆ + a₁₇.
当x = 0时，(0 + 1)¹⁷=a₀=1.
∴2¹⁷=1 + a₁ + a₂ + a₃ + …+a₁₆ + a₁₇.
∴a₁ + a₂ + a₃ + …+a₁₆ + a₁₇的值为2¹⁷ - 1.