《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 68^{\circ}$，$BD$平分$\angle ABC$，$P$为线段$BD$上一动点，$Q$为边$AB$上一动点，当$AP + PQ$的值最小时，$\angle APB$的度数是(D)

A.$118^{\circ}$
B.$125^{\circ}$
C.$136^{\circ}$
D.$124^{\circ}$

答案： 10.D

11. 如图甲，$OA = 3$，$OB = 6$，以$A$点为顶点，$AB$为腰在第三象限作等腰$Rt\triangle ABC$。
（1）求$C$点的坐标。
（2）如图乙，$P$为$y$轴负半轴上的一个动点，当点$P$向$y$轴负半轴向下运动时，以$P$为直角顶点，$PA$为腰作等腰$Rt\triangle APD$，且点$D$在第四象限，过$D$作$DE\perp x$轴于$E$点，求$OP - DE$的值。
（3）如图丙，已知点$F$坐标为$(-6,-6)$，点$G$在$y$轴的负半轴上沿负方向运动时，作$Rt\triangle FGH$始终保持$\angle GFH = 90^{\circ}$，$FG$与$y$轴负轴交于点$G(0,m)$，$FH$与$x$轴正半轴交于点$H(n,0)$。当$G$点在$y$轴的负半轴上沿负方向运动时，有以下两个结论：①$m - n$为定值；②$m + n$为定值。请找出正确的结论，并求出其值。

答案：
11.解：
(1)过C作CM⊥x轴于M点,如图甲，

∵CM⊥OA,AC⊥AB，
∴∠MAC+∠OAB=90°,∠OAB+∠OBA=90°.
则∠MAC=∠OBA.
在△MAC和△OBA中，
$\begin{cases} ∠MAC=∠OBA, \\ ∠CMA=∠AOB, \\ AC=BA, \end{cases}$
则△MAC≌△OBA(AAS)，
则CM=OA=3,MA=OB=6则点C的坐标为(-9,-3).
(2)过D作DQ⊥OP于Q点,如图乙，

则OP-DE=PQ，
∵∠APO+∠QPD=90°,∠APO+∠OAP=90°，
∴∠QPD=∠OAP.
在△AOP和△PQD中，
$\begin{cases} ∠AOP=∠PQD=90°, \\ ∠OAP=∠QPD, \\ AP=PD, \end{cases}$
∴△AOP≌△PQD(AAS).
∴AO=PQ.
∴OP-DE=PQ=OA=3.
(3)结论②是正确的,m+n=-12，
如图丙,过点F分别作FS⊥x轴于S点,FT⊥y轴于T点，

则FS=FT=6,∠FHS=∠HFT=∠FGT，
在△FSH和△FTG中，
$\begin{cases} ∠FSH=∠FTG=90°, \\ ∠FHS=∠FGT, \\ FS=FT, \end{cases}$
∴△FSH≌△FTG(AAS).
则GT=HS，
又
∵G(0,m),H(n,0),点F坐标为(-6,-6)，
∴OT=OS=6,OG=$\vert m\vert$=-m,OH=n.
∴GT=OG-OT=-m-6,HS=OH+OS=n+6.
则-m-6=n+6，
则m+n=-12为定值.