《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

18. (16 分)在一个棱长为 $a$ 的正方体中挖出一个棱长为 $b$ 的小正方体，如图(1)所示，然后切割剩余的立体图形，如图(2)所示，将之分成三部分，如图(3)所示，这三部分长方体的体积依次为 $b^{2}(a - b)$，$ab(a - b)$，$a^{2}(a - b)$.
(1) 请用两种不同的方法求图(1)中的立体图形的体积(用含有 $a$，$b$ 的代数式表示)：
① a^{3}-b^{3} ；
② (a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) ；(要求：逆用乘法分配律将结果化为两个整式乘积的形式)
利用等体积法，能得到公式：a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) ；
(2) 应用：利用在(1)中所得到的公式把多项式 $x^{3}-125$ 写成两个多项式的乘积的形式：(x-5)(x^{2}+5x+25) ；
(3) 拓展：若 $a - b = 5$，$ab = -2$，则 $a^{3}-b^{3}$ 的值为 95 .

答案： 18.解：$(1)①a^{3}-b^{3};②(a-b)(a^{2}+ab+b^{2});a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2});$
$(2)x^{3}-125=x^{3}-5^{3}=(x-5)(x^{2}+5x+25);$
(3)因为a-b=5,ab=-2，
所以$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=(a-b)[(a-b)^{2}+3ab]=5×[5^{2}+3×(-2)]=95.$