《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

6. 如图，在等腰 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ AF $ 为 $ \triangle ABC $ 的中线，$ D $ 为 $ AF $ 上的一点，且 $ BD $ 的垂直平分线过点 $ C $ 并交 $ BD $ 于点 $ E $. 求证：$ \triangle BCD $ 是等边三角形.

答案： 6.证明：$\because AB=AC$，AF为$\triangle ABC$的中线，
$\therefore AF\perp BC$.
$\therefore BD=DC$.
$\because CE$是BD的垂直平分线，
$\therefore BC=CD$.
$\therefore BD=DC=BC$.
$\therefore \triangle BCD$是等边三角形.

7. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A = 100^{\circ} $，$ \angle B = 30^{\circ} $，$ D $ 为 $ BC $ 边上一点，点 $ F $ 是射线 $ BA $ 上一点，$ DF $ 与射线 $ CA $ 相交于点 $ E $，点 $ G $ 是 $ EF $ 的中点. 若 $ \angle DEC = \angle C $，则 $ \angle CAG = $$40^{\circ}$或$140^{\circ}$.

答案： 7.$40^{\circ}$或$140^{\circ}$

8. 阅读下面材料：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图甲，在 $ \triangle ABC $ 中，若 $ AB = 5 $，$ AC = 3 $，求 $ BC $ 边上的中线 $ AD $ 的取值范围.
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 $ AD $ 到 $ E $，使 $ DE = AD $，再连接 $ BE $，相当于把 $ AB $，$ AC $，$ 2AD $ 集中在 $ \triangle ABE $ 中，利用三角形的三边关系，可得 $ 2 ＜ AE ＜ 8 $，即可得到 $ AD $ 的取值范围为 $ 1 ＜ AD ＜ 4 $.
小明小组的感悟：解题时，可以通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
请你解决以下问题：
（1）如图乙，在 $ \triangle ABC $ 中，$ D $ 是 $ BC $ 边的中点，$ ED \perp DF $，$ DE $ 交 $ AB $ 于点 $ E $，$ DF $ 交 $ AC $ 于点 $ F $，连接 $ EF $. 求证：$ BE + CF ＞ EF $.
（2）如图丙，在四边形 $ ABDC $ 中，$ \angle B + \angle C = 180^{\circ} $，$ DB = DC $，$ \angle BDC = 120^{\circ} $，以 $ D $ 为顶点作一个 $ 60^{\circ} $ 的角，角的两边分别交 $ AB $，$ AC $ 于 $ E $，$ F $ 两点，连接 $ EF $，探索线段 $ BE $，$ CF $，$ EF $ 之间的数量关系，并加以证明.

答案：
8.
(1)证明：如图1，延长FD到G，使$DG=DF$，连接BG，EG，
$\because BD=DC$，$\angle1=\angle2$，$DG=DF$，
$\therefore \triangle BDG\cong\triangle CDF(SAS)$.
$\therefore BG=CF$.

$\because ED\perp DF$，$DG=DF$，
$\therefore ED$是GF的垂直平分线.
$\therefore EG=EF$.
在$\triangle BEG$中，$BE+BG＞EG$，
$\therefore BE+CF＞EF$.
(2)证明：如图2，
$\because DB=DC$，将$\triangle FDC$绕点D逆时针旋转$120^{\circ}$得到$\triangle F'DB$，
$\therefore BF'=CF$，$\angle DBF'=\angle DCF$.
$\because \angle ABD+\angle C=180^{\circ}$，
$\therefore \angle EBD+\angle DBF'=180^{\circ}$.
$\therefore B$，E，$F'$三点共线.

$\because \angle BDC=120^{\circ}$，$\angle EDF=60^{\circ}$，
$\therefore \angle EDB+\angle FDC=\angle EDB+\angle F'DB=\angle F'DE=60^{\circ}$.
在$\triangle DEF$和$\triangle DEF'$中，$DF=DF'$，$\angle EDF=\angle EDF'$，$DE=DE$，
$\therefore \triangle DEF\cong\triangle DEF'(SAS)$.
$\therefore BF'+BE=CF+BE=EF$.