《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

11. 如图15.3-28，$\triangle ABC$，$\triangle ADE$是等边三角形，$B$，$C$，$D$在同一直线上. 求证：
（1）$CE = AC + DC$；
（2）$\angle ECD = 60^{\circ}$.

答案： 11.证明:
(1)
∵△ABC,△ADE是等边三角形，
∴AE=AD,BC=AC=AB,∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠BAD=∠CAE.
∴△BAD≌△CAE(SAS).
∴BD=EC.
∵BD=BC+CD=AC+CD,
∴CE=BD=AC+CD.
(2)由
(1)知△BAD≌△CAE,
∴∠ACE=∠ABD=60°.
∴∠ECD=180°−∠ACB−∠ACE=60°.

12. 如图15.3-29，在等边三角形$ABC$中，点$M$为$AB$边上任意一点，延长$BC$至点$N$，使$CN = AM$，连接$MN$交$AC$于点$P$，$MH\perp AC$于点$H$.
（1）求证：$MP = NP$；
（2）若$AB = a$，求线段$PH$的长.

答案：
12.
(1)如下图所示，过点M作MQ//CN,交AC于点Q，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵MQ//CN,
∴∠AQM=∠ACB=60°.
∴∠AQM=∠A=60°.
∴AM=AQ.
∴△AMQ为等边三角形,则MQ=AM=CN.
又
∵MQ//CN,
∴∠QMP=∠CNP.
在△MQP与△NCP中，
∠MPQ=∠NPC,
∠QMP=∠CNP,
QM=CN,
∴△MQP≌△NCP.
则MP=NP;
(2)
∵△AMQ为等边三角形,且MH⊥AC，
∴AH=HQ.
又由
(1)得,△MQP≌△NCP,
则PQ=PC,
∴PH=HQ+PQ=$\frac{1}{2}$(AQ+CQ)=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a.

13. （1）如图15.3-30甲，在$\triangle ABC$中，已知$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，直线$m$经过点$A$，$BD\perp$直线$m$，$CE\perp$直线$m$，垂足分别为点$D$，$E$. 求证：$DE = BD + CE$.
（2）如图15.3-30乙，将（1）中的条件改为：在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$，$A$，$E$三点都在直线$m$上，并且有$\angle BDA = \angle AEC = \angle BAC = \alpha$，其中$\alpha$为任意锐角或钝角. 请问结论$DE = BD + CE$是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.
（3）如图15.3-30丙，$D$，$E$是$D$，$A$，$E$三点所在直线$m$上的两动点（$D$，$A$，$E$三点互不重合），点$F$为$\angle BAC$平分线上的一点，且$\triangle ABF$和$\triangle ACF$均为等边三角形，连接$BD$，$CE$，若$\angle BDA = \angle AEC = \angle BAC$，试判断$\triangle DEF$的形状.

答案：

证明:

(1)
∵ $ BD \perp $直线$ m $，$ CE \perp $直线$ m $，

∴ $ \angle BDA = \angle CEA = 90^{\circ} $，

∵ $ \angle BAC = 90^{\circ} $，

∴ $ \angle BAD + \angle CAE = 90^{\circ} $，

∵ $ \angle BAD + \angle ABD = 90^{\circ} $，

∴ $ \angle CAE = \angle ABD $，

在$ \triangle ABD $和$ \triangle CAE $中

$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle CAE = \angle ABD } \\ { \angle BDA = \angle AEC } \\ { AB = AC } \end{array} \right. $

∴ $ \triangle ADB \cong \triangle CEA ( AAS ) $，

∴ $ AE = BD $，$ AD = CE $，

$ DE = AE + AD = BD + CE $；

(2) 成立.

∵ $ \angle BDA = \angle BAC = \alpha $，

$ \angle DBA + \angle BAD = \angle BAD + \angle CAE = 180^{\circ} - \alpha $，

∴ $ \angle CAE = \angle ABD $，

在$ \triangle ABD $和$ \triangle CAE $中

$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle ABD = \angle CAE } \\ { \angle BDA = \angle AEC } \\ { AB = AC } \end{array} \right. $

∴ $ \triangle ADB \cong \triangle CEA ( AAS ) $，

∴ $ AE = BD $，$ AD = CE $，

$ DE = AE + AD = BD + CE $；

(3)$\triangle DEF$是等边三角形。

由
(2)知，$\angle ADB=\angle CEA$，

$\because AE=AD，\angle DBA=\angle CAE$，

$\because\triangle ABF$和$\triangle ACF$均为等边三角形，

$\therefore\angle ABF=\angle CAF=60^{\circ}$，

$\therefore\angle DBA+\angle ABF=\angle CAE+\angle CAF$，

$\therefore\angle DBF=\angle FAE$，

$\because BF=AF$，

在$\triangle DBF$和$\triangle EAF$中

$\begin{cases}BF=FA\\\angle FBD=\angle FAE\\BD=AE\end{cases}$

$\therefore\triangle DBF\cong\triangle EAF(SAS)$，

$\therefore DF=EF，\angle BFD=\angle AFE$，

$\therefore\angle DFE=\angle DFA+\angle AFE=\angle DFA+\angle BFD=60^{\circ}$，

$\therefore\triangle DEF$为等边三角形。