《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

9. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ BC = 5 $，$ \triangle ABC $ 的面积为 20，$ DE $ 垂直平分 $ AC $，分别交边 $ AB $，$ AC $ 于点 $ D $，$ E $，点 $ F $ 为直线 $ DE $ 上一动点，点 $ G $ 为 $ BC $ 的中点，连接 $ FG $，$ FC $，求 $ \triangle FGC $ 的周长的最小值.

答案：
9.解:如图,连接AG,CF,
　　$\because$DE是AC的垂直平分线,
　　$\therefore$点A与C关于DE对称.
　　$\therefore GF+FC=AF+FG=AG$.
　　此时,$FC+FG$最小值为AG的长.
　　$\because AB=AC$,$BC=5$,点G为BC的中点,$\therefore AG\perp BC$,$CG=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$.
　　$\because \triangle ABC$的面积为20,$\therefore \frac{1}{2}×5× AG=20$.$\therefore AG=8$.$\therefore FC+FG$的最小值为8.
　　$\therefore \triangle FGC$的周长的最小值为$AG+CG=\frac{21}{2}$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

10. 如图，$ \angle ABN = 60^{\circ} $，点 $ C $ 为射线 $ BN $ 上一定点，$ E $ 为线段 $ AB $ 延长线上一定点，且 $ BE = AB = 12 $，点 $ A $ 关于射线 $ BN $ 对称点为 $ D $，连接 $ BD $，$ CD $，$ DE $.
(1) 证明：$ \angle BAC = \angle BDC $.
(2) 若 $ P $ 为直线 $ BC $ 上一个动点，求 $ \triangle PDE $ 周长最小时，$ P $ 所在的位置，并求出 $ \triangle PDE $ 周长的最小值.

答案：
10.
(1)证明:连接AD,如图,
　　$\because$点A关于射线BN对称点为D,$\therefore$BN垂直平分AD.
　　$\therefore BA=BD$,$CA=CD$.
　　在$\triangle BAC$和$\triangle BDC$中,$\begin{cases} BA=BD, \\ BC=BC, \\ CA=CD. \end{cases}$
　　$\therefore \triangle BAC\cong \triangle BDC(SSS)$.$\therefore \angle BAC=\angle BDC$;
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)解:$\because \triangle BAC\cong \triangle BDC$,$\therefore \angle DBN=\angle ABN=60^{\circ}$.
　　$\because BE=BA$,$BA=BD$,$\therefore BE=BD$.$\therefore \angle E=\angle BDE$.
　　$\because \angle ABD=\angle E+\angle BDE$,$\therefore \angle E=\angle BDE=60^{\circ}$.
　　$\therefore \triangle BDE$为等边三角形.$\therefore DE=BE=12$.
　　$\because$BN垂直平分AD,$\therefore PA=PD$.$\therefore PE+PD=PE+PA$.
　　$\because PE+PA\geqslant AE$(当且仅当P,A,E共线时取等号),
　　即点P点运动到B点时,$PE+PA$的最小值为24,此时$\triangle PDE$周长的最小值为36.