《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

12. 如图，$\angle BAD=\angle CAE=90^{\circ}$，$AB=AD$，$AE=AC$，$AF\perp CB$，垂足为$F$.
（1）求证：$\triangle ABC\cong\triangle ADE$.
（2）求$\angle FAE$的度数.
（3）求证：$CD=2BF+DE$.

答案：
12.
(1)证明：$\because\angle BAD=\angle CAE = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle BAC+\angle CAD = 90^{\circ},\angle CAD+\angle DAE = 90^{\circ}$.
$\therefore\angle BAC=\angle DAE$.
在$\triangle BAC$和$\triangle DAE$中，
$\begin{cases}AB = AD,\\\angle BAC=\angle DAE,\\AC = AE,\end{cases}$
$\therefore\triangle BAC\cong\triangle DAE(SAS)$.
(2)解：$\because\angle CAE = 90^{\circ},AC = AE$，
$\therefore\angle E = 45^{\circ}$.
由
(1)知$\triangle BAC\cong\triangle DAE$，
$\therefore\angle BCA=\angle E = 45^{\circ}$.
$\because AF\perp BC$，
$\therefore\angle CFA = 90^{\circ}$.
$\therefore\angle CAF = 45^{\circ}$.
$\therefore\angle FAE=\angle FAC+\angle CAE=45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$.
(3)证明：延长$BF$到$G$，使得$FG = FB$，
$\because AF\perp BG$，
$\therefore\angle AFG=\angle AFB = 90^{\circ}$.

在$\triangle AFB$和$\triangle AFG$中，
$\begin{cases}BF = GF,\\\angle AFB=\angle AFG,\\AF = AF,\end{cases}$
$\therefore\triangle AFB\cong\triangle AFG(SAS)$.
$\therefore AB = AG,\angle ABF=\angle G$.
$\because\triangle BAC\cong\triangle DAE$，
$\therefore AB = AD,\angle CBA=\angle EDA,CB = ED$.
$\therefore AG = AD,\angle ABF=\angle CDA$.
$\therefore\angle CGA=\angle CDA$.
$\because\angle GCA=\angle DCA = 45^{\circ}$，
$\therefore$在$\triangle CGA$和$\triangle CDA$中，
$\begin{cases}\angle GCA=\angle DCA,\\\angle CGA=\angle CDA,\\AG = AD.\end{cases}$
$\therefore\triangle CGA\cong\triangle CDA(AAS)$.
$\therefore CG = CD$.
$\because CG = CB + BF + FG=CB + 2BF=DE + 2BF$，
$\therefore CD = 2BF + DE$.

13. (1)如图甲，在$\triangle ABC$中，$AB=AC=10$，$BD$平分$\angle ABC$，$CD$平分$\angle ACB$，过点$D$作$EF// BC$，分别交$AB$，$AC$于$E$，$F$两点，则图中共有5个等腰三角形，$EF$与$BE$，$CF$之间的数量关系是$BE + CF = EF$，$\triangle AEF$的周长是20.
(2)如图乙，若将(1)中“在$\triangle ABC$中，$AB=AC=10$”改为“若$\triangle ABC$为不等边三角形，$AB=8$，$AC=10$”，其余条件不变，则图中共有2个等腰三角形. $EF$与$BE$，$CF$之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出$\triangle AEF$的周长.

答案： 13.
(1)5 $BE + CF = EF$ 20
(2)2 $BE + CE = EF$
证明：
$\because BD$平分$\angle ABC,CD$平分$\angle ACB$，
$\therefore\angle EBD=\angle CBD,\angle FCD=\angle BCD$.
$\because EF// BC,\therefore\angle EDB=\angle CBD,\angle FDC=\angle BCD$.
$\therefore\angle EBD=\angle EDB,\angle FDC=\angle BCD$.
$\therefore BE = DE,CF = DF$.
$\therefore$等腰三角形有$\triangle BDE,\triangle CFD$.
$\therefore BE + CF = DE + DF = EF$.即$BE + CF = EF$.
可得$\triangle AEF$的周长为18.