《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

10. 八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧.
【探究与发现】
(1)如图甲，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形△ADC≌△EDB.
【理解与应用】
(2)如图乙，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是1＜x＜4.
(3)如图丙，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC=BC，求证：AQ=2AD.
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答案：
10.
(1)△ADC≌△EDB
(2)1＜x＜4
(3)证明：如图丙，延长AD到M，使MD=AD，连接BM，

∴AM=2AD.
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
在△BMD与△CAD中，$\begin{cases}MD=AD,\\\angle BDA=\angle CDA,\\BD=CD,\end{cases}$
∴△BMD≌△CAD.
∴BM=CA,∠M=∠CAD.
∴∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M.
∵∠ACB=∠Q+∠CAQ，AB=BC，
∵∠ACQ=180°-(∠Q+∠CAQ)，∠MBA=180°-(∠BAM+∠M)，
∴∠ACQ=∠MBA.
∵QC=BC，
∴QC=AB.
在△ACQ与△MBA中，$\begin{cases}BM=CA,\\\angle ACQ=\angle MBA,\\QC=AB,\end{cases}$
∴△ACQ≌△MBA.
∴AQ=AM=2AD.