《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

7. 如图 15.1 - 16，△ABC 是等边三角形，直线 MN//BC，点 P 在直线 MN 上运动，当点 P 与△ABC 的两个顶点的距离相等时，警报器就会发出警报，则在直线 MN 上会发出警报的点有(C)

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 7.C

8. 如图 15.1 - 17，在一张纸上画一点 P 和一条直线 l，点 P 在直线 l 外，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 O.将这张纸沿着直线 l 对折，得到点 P 关于直线 l 对称的点 Q.然后展开这张纸，在直线 l 上再选取一点 M，连接 PM 和 QM.你能利用轴对称性质和其他相关知识说明“垂线段最短吗”?
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答案： 8.解：能.理由：
∵点P关于直线l对称的点Q，
∴OP=OQ，PQ⊥l.
∴直线l是线段PQ的垂直平分线，
∴PM=QM.
∵PM+QM≥PQ，
∴2PM≥2PO，
∴PM≥PO.即垂线段最短.

9. 已知命题：“点 D 为平面上一点，在△ABC 中，线段 AD 所在的直线交 BC 于点 E，如果 AE⊥BC，BE = EC，那么 AB = AC，BD = DC.”该命题的逆命题是真命题还是假命题? 若是真命题，给出证明过程；若是假命题，举出反例.

答案： 9.解：是真命题，理由如下：
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上.
∵BD=DC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴直线AD是BC的垂直平分线.
∴AE⊥BC，BE=EC.

10. 如图 15.1 - 18，在四边形 ABCD 中，AB = AD，点 B 关于 AC 的对称点 B'恰好落在 CD 上.若∠BAD = α，求∠ACB 的度数.
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答案：
10.解：如图，连接AB′，BB′，
过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB′，垂足为O.
∴AB=AB′.
∴∠BAC=∠B′AC.

∵AB=AD，
∴AD=AB′.
又
∵AE⊥CD，
∴∠DAE=∠B′AE.
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$α.
又
∵∠AEB′=∠AOB′=90°，
∴四边形AOB′E中，∠EB′O=180°-$\frac{1}{2}$α.
∴∠ACB′=∠EB′O-∠COB′=180°-$\frac{1}{2}$α-90°=90°-$\frac{1}{2}$α.
∴∠ACB=∠ACB′=90°-$\frac{1}{2}$α.