《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

6. 如图 14.3 - 6，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AD$是$\angle BAC$的平分线，$DE\perp AB$于$E$，$F$在$AC$上，$BD = DF$，求证：
(1)$CF = EB$；
(2)$AB = AF + 2EB$。

答案： 6.证明：
(1)
∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
在Rt△CDF和Rt△EDB中，$\begin{cases} BD = DF, \\ DC = DE, \end{cases}$
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).
∴CF=EB；
(2)
∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴CD=DE.
在Rt△ADC与Rt△ADE中，$\begin{cases} AD = AD, \\ DC = DE, \end{cases}$
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL).
∴AC=AE.
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.

7. 如图 14.3 - 7，在四边形$ABCD$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AD = 3$，$BC = 5$，对角线$BD$平分$\angle ABC$，则$\triangle BCD$的面积为(B)

A.8
B.7.5
C.15
D.无法确定

答案： 7.B

8. 如图 14.3 - 8，$\triangle ABC$的三边$AB$，$CA$，$BC$的长分别是 40，50，60，其三条角平分线交于点$O$，则$S_{\triangle ABO}:S_{\triangle BCO}:S_{\triangle CAO}=$4:6:5。

答案： 8.4:6:5

9. 如图 14.3 - 9，在四边形$ABCD$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB// CD$，$M$为$BC$边上的一点，且$AM$平分$\angle BAD$，$DM$平分$\angle ADC$。求证：
(1)$AM\perp DM$；
(2)$M$为$BC$的中点。

答案：
9.证明：
(1)
∵AB//CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°.
∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM=180°.
∴∠MAD+∠ADM=90°.
∴∠AMD=90°.即AM⊥DM.

(2)如图,作MN⊥AD交AD于点N，
∵∠B=90°,AB//CD，
∴BM⊥AB,CM⊥CD.
∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC，
∴BM=MN,MN=CM.
∴BM=CM.即M为BC的中点.