《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

8. 已知$x$，$y$为任意有理数，记$M = x^{2} + 4y^{2}$，$N = 4xy$，则$M$与$N$的大小关系为(B)

A.$M ＞ N$
B.$M \geq N$
C.$M \leq N$
D.不能确定

答案： 8.B

9. 若$m - 2n - 2 = 0$，则$m^{2} - 4mn + 4n^{2} + 5$的值是9.

答案： 9.9

10. 分解因式：
(1)$-p^{2} + 14pq - 49q^{2}$； (2)$4 + 12(a - b) + 9(a - b)^{2}$.

答案： $10.(1)-(p-7q)^{2}；$$ (2)(2+3a-3b)^{2}$

11. 已知$(a + 2b)^{2} - 2a - 4b + 1 = 0$，求$(a + 2b)^{2025}$的值.

答案： 11.1

12. 分解因式：$x^{4} + 4$.
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和$(x^{2})^{2} + 2^{2}$的形式，要使用公式就必须添一项$4x^{2}$，随即将此项$4x^{2}$减去，即可得$x^{4} + 4 = x^{4} + 4x^{2} + 4 - 4x^{2} = (x^{2} + 2)^{2} - 4x^{2} = (x^{2} + 2)^{2} - (2x)^{2} = (x^{2} + 2x + 2)(x^{2} - 2x + 2)$.
人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫作“姬曼定理”.请你依照苏菲·姬曼的做法，将下列因式分解：
(1)$x^{4} + 4y^{4}$；
(2)$x^{2} - 2ax - b^{2} - 2ab$.

答案： 12.解：$(1)x^{4}+4y^{4}=x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+2y^{2}+2xy)(x^{2}+2y^{2}-2xy).$
$(2)x^{2}-2ax-b^{2}-2ab=x^{2}-2ax+a^{2}-a^{2}-b^{2}-2ab=(x-a)^{2}-(a+b)^{2}=(x-a+a+b)(x-a-a-b)=(x+b)(x-2a-b).$