《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

17. （14分）如图，$AD// BC$，$AE$，$BE$分别平分$\angle DAB$，$\angle CBA$.
（1）求$\angle BEA$的度数；
（2）判断$AF$，$BG$，$AB$之间关系，并证明.

答案： 17.
(1)由平行线的性质可得$\angle BAD + \angle ABC = 180^{\circ}$，
由角平分线的性质可得$\angle DAE = \angle BAE = \frac{1}{2}\angle BAD$，$\angle ABE = \angle CBE = \frac{1}{2}\angle ABC$，
即可得$\angle BEA = 90^{\circ}$.
(2)延长$AE$，交$BC$点$H$，
由“$ASA$”可证$\triangle ABE \cong \triangle HBE$，可得$AE = EH$，$AB = BH$，
由“$AAS$”可证$\triangle AFE \cong \triangle HGE$，可得$AF = GH$，
可得$AB = BH = BG + GH = BG + AF$.

18. （14分）如图，在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$AB=AC$，$AD=AE$，$\angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}$.
（1）当点$D$在$AC$上时，如图甲，线段$BD$，$CE$有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的结论.
（2）将图甲中的$\triangle ADE$的位置改变一下，如图乙，使$\angle BAD=\angle CAE$，其他条件不变，则线段$BD$，$CE$又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.

答案：
18.解：
(1)$BD = CE$，$BD\perp CE$.
如图甲，延长$BD$与$EC$交于点$F$，

在$\triangle ACE$和$\triangle ADB$中，$\begin{cases}AE = AD, \\\angle EAC = \angle DAB, \\AC = AB,\end{cases}$
$\therefore \triangle ACE \cong \triangle ADB$.
$\therefore BD = CE$，$\angle AEC = \angle ADB$.
$\because \angle ADB + \angle ABD = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABD + \angle AEC = 90^{\circ}$.
$\therefore \angle BFE = 90^{\circ}$.
$\therefore BD\perp CE$.
(2)结论：$BD = CE$，$BD\perp CE$.
$\because \angle BAC = \angle DAE = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC - \angle DAC = \angle DAE - \angle DAC$.
即$\angle BAD = \angle CAE$.
在$\triangle ABD$与$\triangle ACE$中，$\begin{cases}AB = AC, \\\angle BAD = \angle CAE, \\AD = AE,\end{cases}$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle ACE$.
$\therefore BD = CE$.
如图乙，延长$BD$交$AC$于$F$，交$CE$于$H$.

在$\triangle ABF$与$\triangle HCF$中，
$\because \angle ABF = \angle HCF$，$\angle AFB = \angle HFC$，
$\therefore \angle CHF = \angle BAF = 90^{\circ}$.
$\therefore BD\perp CE$.