《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

1. 如图，已知 $ A $，$ B $ 两点在直线 $ l $ 的同一侧，根据题意，用尺规作图.
(1) 在（图甲）直线 $ l $ 上找出一点 $ P $，使 $ PA = PB $；
(2) 在（图乙）直线 $ l $ 上找出一点 $ P $，使 $ PA + PB $ 的值最小；
(3) 在（图丙）直线 $ l $ 上找出一点 $ P $，使 $ |PA - PB| $ 的值最大.

答案：
1.
(1)如图1,点P即为所求,此时PA=PB.
(2)如图2,点P即为所求,此时PA+PB的值最小.
(3)如图3,点P即为所求,此时|PA - PB|最大.
　　 　　　 　　　

2. 如图，牧马人从 $ A $ 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 $ B $ 处，请画出最短路径.

答案：
2.如下图所示,AQ+PQ+BP为所求.
　　　　　　　　　　　　　

3. 在下列图中，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ D $，$ E $ 分别为 $ BC $，$ AC $ 的中点，$ DF $ 平分 $ \angle ADC $ 交边 $ AC $ 于点 $ F $，$ P $ 为 $ AD $ 上一动点，若使得 $ PE + PF $ 的值最小，下列四个示意图中正确的是(B)

答案： 3.B

4. 如图，为了做好交通安全工作，某交警执勤小队从点 $ A $ 处出发，先到公路 $ l_1 $ 上设卡检查，再到公路 $ l_2 $ 上设卡检查，最后到点 $ B $ 处执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？

答案：
4.解:如图所示,作点A关于直线$l_1$的对称点$A'$,作点B关于直线$l_2$的对称点$B'$,连接$A'B'$,分别交直线$l_1$,$l_2$于点C,D,连接AC,BD,则C,D两点为所设卡检查点.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　$\because$点A关于直线$l_1$的对称点为$A'$,点B关于直线$l_2$的对称点为$B'$,
　　$\therefore AC=A'C$,$DB=DB'$.
　　$\therefore AC+CD+DB=A'C+CD+DB'\geqslant A'B'$.
　　根据两点之间线段最短,可得沿$A\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow B$走,才能使总路程最短.

5. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，请分别在边 $ AB $，$ AC $ 上找到点 $ E $，$ F $，使四边形 $ PEFQ $ 的周长最小.

答案：
5.提示:分别作P关于AB,Q关于AC的对称点P′,Q′,连接P′Q′,交AB于E,交AC于F,则E,F即为所求.