《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

10. 如图 14.3 - 10，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$DF\perp AB$，垂足为$F$，$DE = DG$，$\triangle ADG$和$\triangle AED$的面积分别为 40 和 28，则$\triangle EDF$的面积为(B)

A.12
B.6
C.7
D.8

答案： 10.B

11. 如图 14.3 - 11，在$\triangle ABC$中，$AD$为$BC$边上的高，$AE$是$\angle BAD$的角平分线，点$F$为$AE$上一点，连接$BF$，$\angle BFE = 45^{\circ}$。
(1)求证：$BF$平分$\angle ABE$。
(2)连接$CF$交$AD$于点$G$，若$S_{\triangle ABF}=S_{\triangle CBF}$，求证：$\angle AFC = 90^{\circ}$。
(3)在(2)的条件下，当$BE = 3$，$AG = 4.5$时，求线段$AB$的长。

答案：
11
(1)证明：
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠BAD=2∠BAF.
∵∠BFE=45°，
∴∠FBA+∠BAF=45°.
∴2∠FBA+2∠BAF=90°.
∵AD为BC边上的高，
∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°.
∴2∠FBA=∠EBA+∠FBA.
∴∠EBF=∠FBA.
∴BF平分∠ABE.
(2)证明：过点F作FM⊥BC于点M,FN⊥AB于点N，
∵BF平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB，
∴FM=FN.
∵S△ABF=S△CBF,即$\frac{1}{2}AB\cdot FN=\frac{1}{2}BC\cdot FM$.
∴AB=BC.

在△ABF和△CBF中，$\begin{cases} BA = BC, \\ ∠ABF = ∠CBF, \\ BF = BF, \end{cases}$
∴△ABF≌△CBF(SAS).
∴∠AFB=∠CFB.
∵∠BFE=45°,
∴∠AFB=135°.
∴∠CFB=135°.
∴∠CFE=∠CFB−∠BFE=135°−45°=90°.
∴∠AFC=90°.
(3)解：
∵△ABF≌△CBF,
∴AF=FC.
∵∠AFC=∠ADC=90°,∠AGF=∠CGD，
∴∠FAG=∠FCE.
在△AFG和△CFE中，$\begin{cases} ∠AFG = ∠CFE, \\ AF = CF, \\ ∠FAG = ∠FCE, \end{cases}$
∴△AFG≌△CFE(ASA).
∴AG=EC=4.5.
∵BE=3,
∴BC=BE+EC=7.5.
∵△ABF≌△CBF，
∴AB=BC=7.5.