《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

$9. $分解因式：$(m^{2} - 6)^{2} - 6(m^{2} - 6) + 9 =$　　$(m+3)^{2}(m-3)^{2}$　　$.$　　

答案： $9.(m+3)^{2}(m-3)^{2}$

10. 分解因式：
(1)$(a^{2} + 1)^{2} - 4a^{2}$； (2)$9(2x - 1)^{2} - 6(2x - 1) + 1$.

答案： 10.
(1)原式$=(a^{2}+1+2a)(a^{2}+1-2a)=(a+1)^{2}(a-1)^{2}；$
(2)原式$=[3(2x-1)-1]^{2}=(6x-4)^{2}=4(3x-2)^{2}.$

$11. $张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律$.$请你结合这些算式解答下列问题$.$　　
观察以下算式：$①4^{2} - 2^{2} = 4×3；$$②6^{2} - 4^{2} = 4×5；$$③8^{2} - 6^{2} = 4×7；$$\cdots$　　
$(1)$请结合上述三个算式的规律，写出第$④$个算式：　　$10^{2}-8^{2}=4×9$　　；　　
$(2)$设两个连续偶数为$2n + 2，$$2n($其中$n$为正整数$)，$写出它们的平方差，并说明结果是$4$的倍数$.$　　

答案： 11.解：$(1)10^{2}-8^{2}=4×9；$
(2)两个连续偶数2n+2,2n的平方差为：
$(2n+2)^{2}-(2n)^{2}=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=(4n+2)×2=4(2n+1).$
故两个连续偶数的平方差是4的倍数.

12. 下面是小亮同学对多项式$(x^{2} - 4x + 2)(x^{2} - 4x + 6) + 4$进行因式分解的过程.

解：设$x^{2} - 4x = y$
原式$= (y + 2)(y + 6) + 4$(第一步)
$= y^{2} + 8y + 16$(第二步)
$= (y + 4)^{2}$(第三步)
$= (x^{2} - 4x + 4)^{2}$(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的C.
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学在第四步将$y$用所设中的$x$的代数式代换，这个结果是否分解到最后？否.(填“是”或“否”)
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2} - 2x)(x^{2} - 2x + 2) + 1$进行分解因式.

答案： 12.
(1)C；
(2)否；
(3)设$y=x^{2}-2x,$则原式转化为：
$y(y+2)+1=y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}=(x^{2}-2x+1)^{2}=(x-1)^{4}.$