《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

5. 如图15.3-35，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC ＜ AC$. 点$D$，$E$分别在边$AB$，$BC$上，连接$DE$，将$\triangle BDE$沿$DE$折叠，点$B$的对应点为点$B'$. 若点$B'$刚好落在边$AC$上，$\angle CB'E = 30^{\circ}$，$CE = 3$，则$BC$的长为9.

答案： 5.9

6. 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数，某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造. 如图15.3-36，$AB$表示该小区一段长为$20\ m$的斜坡，坡角$\angle BAD = 30^{\circ}$，$BD\perp AD$于点$D$. 为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为$15^{\circ}$.
（1）求该斜坡的高度$BD$；
（2）求斜坡新起点$C$与原起点$A$之间的距离.（假设图中$C$，$A$，$D$三点共线）

答案： 6.
(1)
∵∠BAD=30°,BD⊥AD,AB=20m,
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=10m.
(2)
∵C,A,D三点共线,∠BAD=30°,∠ACB=15°,
∴∠ABC=∠BAD−∠C=15°.
∴AC=AB=20m.

7. 如图15.3-37，$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle C = 30^{\circ}$，$AB\perp AD$，$DE\perp AC$.
（1）求证：$AE = EC$.
（2）若$DE = 2$，求$BC$的长.

答案： 7.
(1)证明:
∵AB=AC,∠C=30°,
∴∠B=30°,∠BAC=120°.
∵AB⊥AD,
∴∠DAC=30°.
∴∠DAC=∠C.
∴DA=DC.
∵DE⊥AC,
∴AE=EC.
(2)
∵∠C=30°,DE⊥AC,
∴DC=2DE=4.
∴DA=DC=4.
∵AB⊥AD,∠B=30°,
∴BD=2DA=8.
∴BC=BD+DC=8+4=12.