《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

17. （8分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE.
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）若AB=6，AD=4，CD=8，且S△ACD=18，求△ABE的面积.

答案：
17.
(1)证明:过$E$作$EM\perp AD$于$M$,$EN\perp BC$于$N$,

$\because BE$平分$\angle ABC$,$EF\perp AB$,$\therefore EF = EN$.
$\because \angle EAF = \angle DAE = 40^{\circ}$,$\therefore AE$平分$\angle DAF$.$\therefore FE = EM$.
$\therefore EM = EN$.
$\because EM\perp AD$,$EN\perp CD$,$\therefore DE$平分$\angle ADC$;
(2)解:$\because \triangle ACD$的面积$=\triangle ADE$的面积$+\triangle CDE$的面积,
$\therefore \frac{1}{2}AD\cdot EM + \frac{1}{2}CD\cdot EN = 18$.

$\therefore \frac{1}{2}(AD + CD)\cdot EM = 18$.
$\therefore \frac{1}{2}×(4 + 8)× EM = 18$.$\therefore EM = 3$.$\therefore EF = 3$.
$\therefore \triangle ABE$的面积$= \frac{1}{2}AB\cdot EF = \frac{1}{2}×6×3 = 9$.

18. (8分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，1)，B(4，2)，C(3，4).
(1)若点A，B，C关于x轴的对称点分别为A₁，B₁，C₁，则A₁(1，-1)，B₁(4，-2)，C₁(3，-4)，并在图中画出△A₁B₁C₁.
(2)求△ABC的面积；
(3)在x轴上求一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并通过画图求出P点的坐标.

答案：
18.
(1)$A_1(1,-1)$,$B_1(4,-2)$,$C_1(3,-4)$

$\triangle A_1B_1C_1$如右图.
(2)$S_{\triangle ABC}=3×3-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×3 = 3.5$.
(3)如右图,连接$AB_1$交$x$轴于点$P$,
则$PB = PB_1$,
$\therefore C_{\triangle ABP}=AP + PB + AB = AB + AP + PB_1 = AB + AB_1$.
此时$\triangle ABP$的周长最小.
由作图可得:$P(2,0)$.