《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

1 抛物线$y = -(x - 8)^{2} + 2$的顶点坐标是(B)。
A.$(2,8)$
B.$(8,2)$
C.$(-8,2)$
D.$(-8,-2)$

答案： 【解析】：
对于抛物线$y = a(x - h)^{2} + k$，其顶点坐标为$(h, k)$。
在本题中，抛物线方程为$y = -(x - 8)^{2} + 2$，与标准形式对比，可以直接得出$h = 8$，$k = 2$。
因此，抛物线的顶点坐标为$(8, 2)$。
【答案】：
B. $(8,2)$。

2 将二次函数$y = 2(x - 2)^{2}$的图像向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得图像的函数解析式为(C)。
A.$y = 2(x - 2)^{2} - 4$
B.$y = 2(x - 1)^{2} + 3$
C.$y = 2(x - 1)^{2} - 3$
D.$y = 2x^{2} - 3$

答案： 【解析】：
题目要求将给定的二次函数$y = 2(x - 2)^{2}$的图像进行平移。
首先，考虑向左平移1个单位。根据平移规律，左平移1个单位相当于将$x$替换为$x+1$，因此函数变为$y = 2(x - 2 + 1)^{2} = 2(x - 1)^{2}$。
接着，考虑向下平移3个单位。根据平移规律，下平移3个单位相当于在原函数值上减去3，因此函数变为$y = 2(x - 1)^{2} - 3$。
综合以上两步，所得图像的函数解析式为$y = 2(x - 1)^{2} - 3$。
【答案】：
C.$y = 2(x - 1)^{2} - 3$。

3 抛物线$y = 2(x + 1)^{2} - 2与y$轴的交点的坐标是(D)。
A.$(0,-2)$
B.$(-2,0)$
C.$(0,-1)$
D.$(0,0)$

答案： 解：求抛物线与y轴的交点，令x=0。
将x=0代入y=2(x+1)²-2，
得y=2(0+1)²-2=2×1-2=0。
所以交点坐标为(0,0)。
答案：D

4 关于抛物线$y = - 3(x + 1)^{2} - 4$,下列说法正确的是(C)。
A.抛物线的对称轴是直线$x = 1$
B.抛物线在$y轴上的截距是-4$
C.抛物线的顶点坐标是$(-1,-4)$
D.抛物线的开口方向向上

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数$y = a(x + m)^{2} + k$的图像性质，包括对称轴、顶点坐标、开口方向以及与坐标轴的交点。
A. 对于抛物线$y = -3(x + 1)^{2} - 4$，其对称轴为$x = -1$，与选项A中的$x = 1$不符，故A错误。
B. 抛物线在$y$轴上的截距是当$x=0$时的$y$值。将$x=0$代入方程，得$y = -3(0 + 1)^{2} - 4 = -3 - 4 = -7$，与选项B中的$-4$不符，故B错误。
C. 抛物线的顶点坐标为$(-1, -4)$，与选项C中的$(-1, -4)$相符，故C正确。
D. 抛物线的开口方向由系数$a$决定。在本题中，$a = -3 ＜ 0$，所以抛物线的开口方向是向下，与选项D中的向上不符，故D错误。
综上，正确答案是C。
【答案】：
C

5 如果将抛物线$y = - 2x^{2}$平移,顶点移到点$P(3,-2)$的位置,那么所得新抛物线的表达式为$y = -2(x - 3)^2 - 2$。

答案： 解：抛物线$y = -2x^2$的顶点为$(0,0)$。
将顶点平移到点$P(3,-2)$，即向右平移3个单位，向下平移2个单位。
根据二次函数顶点式$y = a(x - h)^2 + k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），
可得新抛物线表达式为$y = -2(x - 3)^2 - 2$。
$y = -2(x - 3)^2 - 2$

6 抛物线$y = 2(x - 3)^{2} + 4$的在对称轴的右侧的部分上升。(填“左”或“右”)

答案： 【解析】：
对于抛物线$y = a(x - h)^{2} + k$，其对称轴为直线$x = h$。
在本题中，抛物线方程为$y = 2(x - 3)^{2} + 4$，所以对称轴为直线$x = 3$。
又因为$a = 2 ＞ 0$，所以抛物线开口向上。
对于开口向上的抛物线，当$x$值大于对称轴的$x$值时，$y$值随$x$的增大而增大，即抛物线在对称轴的右侧部分上升。
【答案】：
右

7 已知点$A(x_{1},y_{1})和B(x_{2},y_{2})是抛物线y = 2(x - 3)^{2} + 5$上的两点,如果$x_{1} ＞ x_{2} ＞ 4$,那么$y_{1}$＞$y_{2}$。(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)

答案： 解：抛物线$y = 2(x - 3)^{2} + 5$的对称轴为直线$x = 3$，且$a = 2＞0$，抛物线开口向上。
当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而增大。
因为$x_{1} ＞ x_{2} ＞ 4＞3$，所以$y_{1}＞y_{2}$。
$＞$

8 已知二次函数的图像开口向下,且其图像顶点位于第一象限内,请写出一个满足上述条件的二次函数解析式为____(表示为$y = a(x + m)^{2} + k$的形式)。
$y = -(x - 1)^{2} + 1$（答案不唯一）

答案： 【解析】：
题目要求写出一个满足特定条件的二次函数解析式，形式为$y = a(x + m)^{2} + k$。
首先，由于二次函数的图像开口向下，根据二次函数的性质，我们知道系数$a$必须小于0，即$a ＜ 0$。
其次，题目还要求二次函数的图像顶点位于第一象限内。在二次函数$y = a(x + m)^{2} + k$的形式中，顶点坐标为$(-m, k)$。
由于顶点在第一象限，所以$-m ＞ 0$（即$m ＜ 0$）且$k ＞ 0$。
综合以上两点，我们可以选择$a = -1, m = -1, k = 1$作为一组满足条件的参数，写出二次函数解析式为$y = -(x - 1)^{2} + 1$（注意这里将$m$替换为$-1$时，形式变为$x-1$，因为$m$是$-m$）。
当然，这不是唯一的答案，只要满足$a ＜ 0, m ＜ 0, k ＞ 0$的参数都可以。
【答案】：
$y = -(x - 1)^{2} + 1$（答案不唯一）

9 抛物线$y = a(x - 2)^{2} + c$的图像如图所示,该抛物线与$x轴交于A$、$B$两点,若$A点的坐标为(1,0)$,则$B$点的坐标为(3,0)。

答案： 【解析】：
由题可知，抛物线的顶点形式为$y=a(x-2)^{2}+c$，
所以抛物线的对称轴是$x=2$，
因为点$A$的坐标是$(1,0)$，
根据抛物线的对称性，点$A$关于对称轴$x=2$的对称点$B$的横坐标可以通过以下方式求得：
设点$B$的坐标为$(x_B,0)$，
由于点$A$和点$B$关于对称轴$x=2$对称，
所以有：$\frac{1+x_B}{2}=2$，
解这个方程，得到$x_B=3$，
因此，点$B$的坐标是$(3,0)$。
【答案】：
$(3,0)$。

10 抛物线$y = ax^{2}(a \neq 0)$沿某条直线平移一段距离,我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”。如果把抛物线$y = x^{2}$沿直线$y = x$向上平移,平移距离为$\sqrt{2}$时,那么它的“同簇抛物线”的表达式是$y = x^{2} - 2x + 2$。

答案： 【解析】：
首先，原抛物线为$y=x^2$，其顶点为$(0,0)$。
题目要求抛物线沿直线$y=x$向上平移$\sqrt{2}$的距离。在直线$y=x$上，每向右上移动1个单位，横纵坐标各增加1。因此，平移$\sqrt{2}$的距离，可以看作是先沿x轴正方向移动1个单位，再沿y轴正方向移动1个单位，即新顶点为$(1,1)$。
由于平移不改变抛物线的开口方向和宽度，所以新抛物线的二次项系数仍为1。
根据二次函数的平移规律，新抛物线的表达式应为$y=(x-h)^2+k$的形式，其中$(h,k)$为新顶点坐标。
将新顶点坐标$(1,1)$代入，得到新抛物线的表达式为$y=(x-1)^2+1$。
展开后得到$y=x^2-2x+2$。
【答案】：
$y = x^{2} - 2x + 2$