《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

11 已知抛物线 $y = a(x + 1)^2$ 经过点 $A(-2,2)$,求抛物线的表达式,并写出 $A$ 关于对称轴的对称点 $A'$ 的坐标。

答案： y=2(x+1)²,A'(0,2)

12 在直角坐标平面内,已知抛物线 $y = a(x - 1)^2(a ＞ 0)$ 顶点为 $A$,与 $y$ 轴交于点 $C$,点 $B$ 是抛物线上另一点,且横坐标为 3,若 $\triangle ABC$ 为直角三角形时,求 $a$ 的值。

答案： 抛物线y=a(x-1)²(a＞0)的顶点A为(1,0),与y轴的交点C(0,a),点B(3,4a),则AB²=4+16a²,BC²=9+9a²,AC²=1+a²,若AB²=BC²+AC²,得4+16a²=9+9a²+1+a²,解得a=1(负舍),若BC²=AB²+AC²,得9+9a²=4+16a²+1+a²,解得a=√2/2(负舍),若AC²=BC²+AB²,得1+a²=9+9a²+4+16a²,无实数解,综上可得,若△ABC为直角三角形时,a的值为1或√2/2。

13 一个二次函数,它的顶点坐标是($-1$,$0$),且经过点($1$,$-4$)。
(1) 写出这个二次函数的解析式；
(2) 图像在对称轴的右侧部分,$y$ 随 $x$ 的增大怎样变化?
(3) 指出这个函数有最大值还是最小值,并求出这个值。

答案：
(1)y=-(x+1)²
(2)y随x的增大而减小
(3)当x=-1时,函数有最大值0

14 在平面直角坐标系 $xOy$ 中,将直线 $l：y = -\frac{3}{4}x - 3$ 沿 $x$ 轴翻折,得到一条新直线与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$,将抛物线 $C_1：y = \frac{1}{3}x^2$ 沿 $x$ 轴平移,得到一条新抛物线 $C_2$ 与 $y$ 轴交于点 $D$,与直线 $AB$ 交于点 $E$、$F$。联结 $DF$,满足 $DF // x$ 轴。
(1) 求直线 $AB$ 的表达式；
(2) 求抛物线 $C_2$ 的表达式。

答案：
(1)由题意得A(-4,0),B(0,3),设直线AB的表达式为y=kx+3(k≠0)。所以-4k+3=0,解得k=3/4,所以直线AB的表达式为y=3/4x+3。
(2)设平移后的抛物线C₂的顶点为P(n,0),则抛物线C₂的表达式为y=1/3(x-n)²,所以D(0,1/3n²)。因为DF//x轴,所以点F(2n,1/3n²),又点F在直线AB上,所以1/3n²=3/4·(2n)+3。解得n₁=6,n₂=-3/2。所以抛物线C₂的表达式为y=1/3(x-6)²或y=1/3(x+3/2)²。