《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

8 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角,那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”。如图,如果点E是矩形ABCD的一个“直角点”,且$CD= 3EC$,则$AD:AB$的值是$\frac{\sqrt{2}}{3}$。

答案： $\frac{\sqrt{2}}{3}$

9 如图,已知$△ABC,AB= 6,AC= 5$,D是边AB的中点,E是边AC上一点,$∠ADE= ∠C,∠BAC$的平分线分别交DE、BC于点F、G,那么$\frac {AF}{AG}$的值为$\frac{3}{5}$。

答案： $\frac{3}{5}$

10 已知在梯形ABCD中,$AD// BC,∠ABC= 90^{\circ }$,对角线AC、BD相交于点O,且$AC⊥BD$,如果$AD:BC= 2:3$,那么$DB:AC= $$\frac{\sqrt{6}}{3}$。

答案： $\frac{\sqrt{6}}{3}$

11 如图,已知$∠A= ∠D,∠B= ∠E,AB= 6,BF= 2,CE= 8,CA= 10,DE= 15$,求线段DF和FC的长。

答案： $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$，$\frac{6}{15}=\frac{10}{DF}$，可得 DF=25。由$\frac{AB}{DE}=\frac{BF+FC}{CE+FC}$，$\frac{6}{15}=\frac{2+FC}{8+FC}$，可得 FC=2。

12 如图,在$Rt△ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= AC,∠DAE= 45^{\circ }$,求证:$AB^{2}= BE\cdot CD$。

答案：
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}×(180°-\angle BAC)$=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=45°+∠BAD，∠EAB=∠DAE+∠BAD=45°+∠BAD，
∴∠ADC=∠EAB，
∵∠B=∠C，
∴△EAB∽△ADC，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{AC}$，
∵AB=AC，
∴AB²=BE·CD。