《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

12 如图,点$O为\triangle ABC$内一点,点$D$、$E$、$F分别是OA$、$OB$、$OC$的中点,求证：$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$。

答案：
∵D、E分别是OA、OB的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB。同理,EF=$\frac{1}{2}$BC,DF=$\frac{1}{2}$AC.
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{DF}{AC}$=$\frac{1}{2}$。
∴△ABC∽△DEF

13 如图,在$\triangle ABC$中,点$D在\triangle ABC$内,且$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}= \frac{AC}{AE}$,求证：$\angle ABD= \angle ACE$。

答案： 因为$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BC}{DE}$=$\frac{AC}{AE}$,所以△ABC∽△ADE,即可得∠BAC=∠DAE,因此∠BAD =∠CAE,又因为$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$,所以$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AE}$,所以△ABD∽△ACE,所以∠ABD=∠ACE.

14 如图,$E$、$F分别是正方形ABCD的边AB$、$AD$上的点,且$\frac{EB}{AB}= \frac{AF}{AD}= \frac{1}{3}$,求证：$\angle AEF= \angle FBD$。

答案：
如图，过点F作FG⊥BD于点G，设正方形ABCD的边长为3,则AB=AD=3,∠ADB=45°,
∵$\frac{EB}{AB}$=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{1}{3}$,
∴EB=1,AF=1,AE=3−1=2,FD=3−1=2,
∴EF=$\sqrt{AE^2+AF^2}$=$\sqrt{5}$,BF=$\sqrt{AB^2+AF^2}$=$\sqrt{10}$,FG=$\sqrt{2}$,BG=$\sqrt{BF^2−FG^2}=2\sqrt{2}$,
∵$\frac{AF}{FG}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{AE}{BG}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{EF}{BF}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$\frac{AF}{FG}$=$\frac{AE}{BG}$=$\frac{EF}{BF}$,
∴△AEF∽△GBF,
∴∠AEF =∠FBD。