《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

13 已知:如图,在△ABC中,D是边BC上一点,以点D为圆心、CD为半径作半圆,分别与边AC、BC相交于点E和点F。如果AB= AC= 5,cosB= $\frac{4}{5}$,AE= 1。
(1) 求线段CD的长度;
(2) 求点A和点F之间的距离。

答案：
(1) 作$DH\perp CE$,垂足为点 H。因为 D 为半圆的圆心,$AC=5$,$AE=1$,所以$CH=$$\frac{1}{2}EC=2$。因为$AB=AC$,所以$\angle B=\angle C$,所以$\cos C=\cos B=\frac{4}{5}$。在$Rt\triangle CDH$中,因为$\cos C=\frac{CH}{CD}=\frac{4}{5}$,$CH=2$,所以$CD=\frac{5}{2}$。
(2) 作$AM\perp BC$,垂足为点 M,联结 AF。因为$CD=\frac{5}{2}$,所以$CF=5$。在$Rt\triangle ACM$中,因为$\cos C=\frac{CM}{AC}=\frac{4}{5}$,$AC=5$,所以$CM=4$。所以$AM=\sqrt{AC^{2}-CM^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$。因为$CF=5$,$CM=4$,所以$FM=1$。所以$AF=\sqrt{AM^{2}+FM^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$。

14 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 2,点D、E分别在边BC、AB上,ED⊥BC,以AE为半径的⊙A交DE的延长线于点F。
(1) 如图1,当D为边BC中点时,求弦EF的长;
(2) 设$\frac{DC}{BC}= x$,EF= y,求y关于x的函数解析式(不用写出定义域);
(3) 如图2,若DE过△ABC的重心,分别联结BF、AF、CE,当∠AFB= 90°时,求$\frac{CE}{AB}$的值。

答案：
(1) 过点 A 作$AH\perp FE$,垂足为点 H。因为 AH 过圆心 A,所以$EF=2EH$。因为$\angle ACB=90^{\circ}$,$ED\perp BC$,所以$ED// AC$,则有$\frac{ED}{AC}=\frac{BD}{BC}$。又因为 D 为边 BC 中点,$AC=2$,所以$ED=\frac{1}{2}AC=1$。因为$AH\perp FE$,$ED\perp BC$,所以$\angle AHD=90^{\circ}$,$\angle HDC=90^{\circ}$。又因为$\angle ACB=90^{\circ}$,所以四边形 ACDH 是矩形,则有$DH=AC=2$,$EH= DH-ED=2-1=1$,则有$EF=2$。
(2) 由
(1)知:$EF=2EH$,$DH=AC=2$,$ED// AC$,所以$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BC}$。因为$\frac{DC}{BC}=x$,所以$\frac{BD}{BC}=1-x$。因为$AC=2$,所以$\frac{DE}{2}=1-x$,即$DE=2-2x$。因此$EH= 2-(2-2x)=2x$,即$EF=4x$。所以所求的函数解析式是$y=4x$。
(3) 因为$DE// AC$,$DE$过$\triangle ABC$的重心,所以$\frac{BE}{EA}=2$,$\frac{ED}{AC}=\frac{2}{3}$,$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{3}$。又因为$AC=2$,所以$ED=\frac{4}{3}$。由
(2)知:$FE=\frac{4}{3}$,所以$FD=FE+ED=\frac{8}{3}$,所以$\frac{ED}{FD}=\frac{1}{2}$。又因为$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{3}$,所以$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$,$\frac{ED}{FD}=\frac{CD}{BD}$。又因为$ED\perp BC$,所以$\angle CDE=\angle BDF=90^{\circ}$,可得$\triangle CDE\backsim\triangle BDF$,则有$\frac{CE}{BF}=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$。设$\odot A$的半径为 r,则$AF=AE=r$,$BE=2r$,$AB=3r$。因为$\angle AFB=90^{\circ}$,所以$BF=\sqrt{AB^{2}-AF^{2}}=\sqrt{8r^{2}}=2\sqrt{2}r$,则有$\frac{BF}{AB}=\frac{2\sqrt{2}r}{3r}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$,因此$\frac{CE}{AB}=\frac{CE}{BF}\cdot\frac{BF}{AB}=\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。