《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

9 已知向量 $ \vec{m}= 3\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b} $, $ \vec{n}= \frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{a} $,则 $ \vec{m}-4\vec{n}= $$2\vec{a}-\frac{8}{3}\vec{b}$。

答案： $2\vec{a}-\frac{8}{3}\vec{b}$

10 已知梯形 $ ABCD $, $ AD// BC $,点 $ E $ 和 $ F $ 分别在两腰 $ AB $ 和 $ DC $ 上,且 $ EF $ 是梯形的中位线,$ AD= 3 $, $ BC= 4 $。设 $ \overrightarrow{AD}= \vec{a} $,那么向量 $ \overrightarrow{EF}= $$\frac{7}{6}\vec{a}$。(用向量 $ \vec{a} $ 表示)

答案： $\frac{7}{6}\vec{a}$

11 若 $ 2(\vec{x}-\frac{1}{3}\vec{a})-\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c}-3\vec{x})+\vec{b}= \vec{0} $,其中 $ \vec{a} $、$ \vec{b} $、$ \vec{c} $ 为已知向量,求未知向量 $ \vec{x} $。

答案： $2\vec{x}-\frac{2}{3}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{c}+\frac{3}{2}\vec{x}+\vec{b}=\vec{0}\Leftrightarrow \frac{7}{2}\vec{x}-\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{c}=\vec{0}\Leftrightarrow \frac{7}{2}\vec{x}=\frac{2}{3}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}\Leftrightarrow \vec{x}=\frac{4}{21}\vec{a}-\frac{1}{7}\vec{b}+\frac{1}{7}\vec{c}$。

12 如图,已知两个不平行的向量 $ \vec{a} $、$ \vec{b} $,求作向量 $ \vec{c} $,使得 $ \vec{c}= 2(\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b})-\frac{1}{2}(2\vec{a}+4\vec{b}) $。

答案： $\vec{c}=2\vec{a}-\vec{b}-\vec{a}-2\vec{b}=\vec{a}-3\vec{b}$。作图略。

13 已知非零实数 $ m $、$ n(m\neq n) $ 和非零向量 $ \vec{a} $、$ \vec{b} $、$ \vec{x} $,且满足向量关系式 $ (m-n)(2\vec{a}-3\vec{x})= 4\vec{b} $,用向量 $ \vec{a} $、$ \vec{b} $ 和实数 $ m $、$ n $ 表示向量 $ \vec{x} $。

答案： $(m-n)(2\vec{a}-3\vec{x})=4\vec{b},(2m-2n)\vec{a}-3(m-n)\vec{x}=4\vec{b},3(m-n)\vec{x}=(2m-2n)\vec{a}-4\vec{b}$,因为$m\neq n$,所以$\vec{x}=\frac{2}{3}\vec{a}-\frac{4}{3(m-n)}\vec{b}$。

14 如图,在 $ \text{Rt}\triangle ABC $ 中, $ \angle ABC= 90^{\circ} $,点 $ G $ 是 $ \text{Rt}\triangle ABC $ 的重心,联结 $ BG $ 并延长交 $ AC $ 于点 $ D $,过点 $ G $ 作 $ GE\perp BC $ 交边 $ BC $ 于点 $ E $。
(1) 如果 $ \overrightarrow{AC}= \vec{a} $, $ \overrightarrow{AB}= \vec{b} $,用 $ \vec{a} $、$ \vec{b} $ 表示向量 $ \overrightarrow{BG} $;
(2) 当 $ AB= 12 $ 时,求 $ GE $ 的长。

答案：
(1)
∵点G是$\text{Rt}\triangle ABC$的重心，
∴点D为AC的中点。
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\vec{a}$，
∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a}$。
∵点G是$\text{Rt}\triangle ABC$的重心，
∴$BG=\frac{2}{3}BD$。
∵$\overrightarrow{BG}$与$\overrightarrow{BD}$同向，
∴$\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BD}=-\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{a}$。
(2)在$\text{Rt}\triangle ABC$中,点D为AC的中点，
∴$CD=DB$，
∴$\angle C=\angle DBC$。
∵$GE\perp BC$,$\angle ABC=90^\circ$，
∴$\angle ABC=\angle GEB=90^\circ$。
∴$\triangle GEB\backsim\triangle ABC$，
∴$\frac{GE}{AB}=\frac{BG}{AC}$。
∵$BG=\frac{2}{3}BD$，$BD=\frac{1}{2}AC$，
∴$BG=\frac{1}{3}AC$，
∴$\frac{GE}{12}=\frac{1}{3}$，
∴$GE=4$。