《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

10 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$BD = CD$,$CE⊥AB$,垂足为点$E$,$\frac{BE}{BC}= \frac{5}{13}$,则$\frac{S_{\triangle BED}}{S_{\triangle ABC}}= $25/169。

答案： 25/169

11 如图,在$\triangle ABC$中,$D$、$E分别是边AB$、$AC$上的点,$DE// BC$,点$F在线段DE$上,过点$F作FG// AB$、$FH// AC分别交BC于点G$、$H$,如果$BG:GH:HC = 2:4:3$,求$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle FGH}}$的值。

答案：
∵ DE // BC，
∴ ∠ADE=∠B。
∵ FG // AB，
∴ ∠FGH=∠B。
∴ ∠ADE=∠FGH。同理，∠AED=∠FHG。
∴ △ADE∽△FGH。
∴ S_△ADE/S_△FGH=(DE/GH)²。
∵ DE // BC，FG // AB，
∴ DF=BG。同理，FE=HC。
∵ BG:GH:HC=2:4:3，
∴ 设 BG=2k，GH=4k，HC=3k，
∴ DF=2k，FE=3k，
∴ DE=5k。
∴ S_△ADE/S_△FGH=(5k/4k)²=25/16。

12 如图,在$\triangle ABC$中,点$D为边BC$上一点,且$AD = AB$,$AE⊥BC$,垂足为点$E$。过点$D作DF// AB$,交边$AC于点F$,联结$EF$,满足$EF^{2}= \frac{1}{2}BD\cdot EC$。
(1) 求证：$\triangle EDF\backsim\triangle EFC$；
(2) 如果$\frac{S_{\triangle EDF}}{S_{\triangle ADC}}= \frac{1}{4}$,求证：$AB = BD$。

答案：
(1)
∵ AB=AD，AE⊥BC，
∴ ED=BE=1/2 BD。
∵ EF²=1/2 BD·EC，
∴ EF²=ED·EC，即得 EF/EC=ED/EF。又
∵ ∠FED=∠CEF，
∴ △EDF∽△EFC。
(2)
∵ AB=AD，
∴ ∠B=∠ADB。又
∵ DF // AB，
∴ ∠FDC=∠B。
∴ ∠ADB=∠FDC。
∴ ∠ADB+∠ADF=∠FDC+∠ADF，即得∠EDF=∠ADC。
∵ △EDF∽△EFC，
∴ ∠EFD=∠C。
∴ △EDF∽△ADC。
∴ S_△EDF/S_△ADC=(ED/AD)²=1/4。
∴ ED/AD=1/2，即 ED=1/2 AD。又
∵ ED=BE=1/2 BD，
∴ BD=AD 。
∴ AB=BD。