《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

11 已知非零向量 $ \vec { a } $, 如图所示, 求作 $ \frac { 4 } { 3 } \vec { a } $。

答案： 在平面内任取一点O,作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$,在射线OA上取$OB=\dfrac{4}{3}OA$,则$\overrightarrow{OB}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{a}$。

12 在 $ \triangle A B C $ 中, $ \angle C = 90 ^ { \circ } $, $ \angle A = 30 ^ { \circ } $, $ B D $ 是 $ \angle A B C $ 的平分线, 试用向量 $ \overrightarrow { A C } $ 表示 $ \overrightarrow { C D } $。

答案： 易得$\angle A=\angle ABD=30^{\circ}$,所以$BD=AD$,在$\text{Rt}\triangle BCD$中,$\angle C=90^{\circ}$,$\angle CBD=30^{\circ}$,可得$CD=\dfrac{1}{2}BD$,即$CD=\dfrac{1}{2}AD$,所以$CD=\dfrac{1}{3}AC$,又因为$\overrightarrow{CD}$与$\overrightarrow{AC}$方向相反,所以$\overrightarrow{CD}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。

13 如图, 在梯形 $ A B C D $ 中, $ A B // D C $, 点 $ F 、 E $ 分别在边 $ A D 、 B C $ 上, $ F E // D C $, 已知 $ 5 A B = 3 C D $, $ C E = 2 B E $。试用向量 $ \overrightarrow { D C } $ 表示向量 $ \overrightarrow { F E } $。

答案： 过点B作$BH// AD$,分别交EF、DC于点G、H,易证四边形ABGF、四边形ABHD是平行四边形,所以$AB=FG=DH$,因为$5AB=3CD$,所以$FG=DH=\dfrac{3}{5}DC$,因为$EG// CH$,所以$\dfrac{GE}{CH}=\dfrac{BE}{BC}$,因为$CE=2BE$,所以$\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{1}{3}$,所以$\dfrac{GE}{CH}=\dfrac{1}{3}$,即$GE=\dfrac{1}{3}CH$,由$DH=\dfrac{3}{5}DC$得$CH=\dfrac{2}{5}DC$,所以$GE=\dfrac{1}{3}× \dfrac{2}{5}DC=\dfrac{2}{15}DC$,所以$FE=FG+GE=\dfrac{3}{5}DC+\dfrac{2}{15}DC=\dfrac{11}{15}DC$,因为$\overrightarrow{FE}$与$\overrightarrow{DC}$方向相同,所以$\overrightarrow{FE}=\dfrac{11}{15}\overrightarrow{DC}$。

14 如图, 在 $ \triangle A B C $ 中, 点 $ D 、 E 、 F $ 分别在边 $ A B 、 A C 、 B C $ 上, $ D E // B C $, $ E F // A B $, $ A D : A B = 1 : 3 $。
(1) 当 $ D E = 5 $ 时, 求 $ F C $ 的长;
(2) 设 $ \overrightarrow { A D } = \vec { a } $, $ \overrightarrow { C F } = \vec { b } $, 用向量 $ \vec { a } 、 \vec { b } $ 表示向量 $ \overrightarrow { F E } $ 和向量 $ \overrightarrow { E A } $。

答案：
(1)由$DE// BC$,$EF// AB$得平行四边形DEFB,所以$DE=BF$,因为$DE// BC$,所以$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$,因为$AD:AB=1:3$,所以$BC=3DE$,所以$FC=BC-BF=2DE=10$。
(2)由平行四边形DEFB可得$FE// BD$,且$FE=BD$,因为$AD:AB=1:3$,所以$BD=2AD$,所以$FE=2AD$,因为$\overrightarrow{FE}$与$\overrightarrow{AD}$方向相反,所以$\overrightarrow{FE}=-2\overrightarrow{AD}=-2\overrightarrow{a}$;由
(1)知$ED=\dfrac{1}{2}CF$,因为$\overrightarrow{ED}$与$\overrightarrow{CF}$方向相同,所以$\overrightarrow{ED}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}$,又因为$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}$,所以$\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DA}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$,即$\overrightarrow{EA}=-\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}$。