《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

13 如图,在梯形ABCD中,$DC// AB,AD= BD,AD⊥DB$,点E是腰AD上一点,作$∠EBC= 45^{\circ }$,联结CE,交DB于点F。
(1) 求证:$\triangle ABE\backsim \triangle DBC;$
(2) 如果$\frac {BC}{BD}= \frac {5}{6}$,求$\frac {S_{\triangle BCE}}{S_{\triangle BDA}}$的值。

答案： （1）$\because AD=BD$，$AD\perp DB$，$\therefore \angle A=\angle DBA=45^{\circ }$。又$\because DC// AB$，$\therefore \angle CDB=\angle DBA=45^{\circ }$，$\therefore \angle CDB=\angle A$，$\because \angle EBC=45^{\circ }$，$\therefore \angle EBC=\angle DBA$，$\therefore \angle EBC - \angle DBE=\angle DBA - \angle DBE$，即$\angle DBC=\angle ABE$。$\therefore \triangle ABE\backsim \triangle DBC$。（2）$\because$由（1）知$\triangle ABE\backsim \triangle DBC$，$\therefore \frac{AB}{DB}=\frac{EB}{CB}$。$\because \frac{EB}{AB}=\frac{CB}{DB}$，且$\angle EBC=\angle DBA$，$\therefore \triangle BCE\backsim \triangle BDA$。又$\because \frac{BC}{BD}=\frac{5}{6}$，$\therefore \frac{S_{\triangle BCE}}{S_{\triangle BDA}}=\left(\frac{BC}{BD}\right)^{2}=\frac{25}{36}$。

14 如图,OC是$\triangle ABC$中AB边的中线,$∠ABC= 36^{\circ }$,点D为OC上一点,如果$OD= k\cdot $OC,过点D作$DE// CA$交于BA点E,点M是DE的中点。将$\triangle ODE$绕点O顺时针旋转α(其中$0^{\circ }＜α＜180^{\circ }$)后,射线OM交直线BC于点N。

(1) 如果$\triangle ABC$的面积为26,求$\triangle ODE$的面积(用k的代数式表示);
(2) 当点N和B不重合时,请探究$∠ONB$的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式。

答案：
（1）$\because OC$是$\triangle ABC$中AB边的中线，$\triangle ABC$的面积为26，$\therefore \triangle AOC$的面积为13。$\because DE// CA$，$\therefore \triangle ODE\backsim \triangle OCA$。$\because OD=k\cdot OC$，$\therefore \triangle ODE$的面积为$13k^{2}$。（2）当点N在B右侧时，如图1。在射线ON上截取$MF=OM$，联结EF、DF，易知四边形OEFD为平行四边形。易证$\angle OEF=\angle BOC$。$\because \frac{OE}{OB}=\frac{OE}{OA}=\frac{OD}{OC}=\frac{EF}{OC}$，$\therefore \triangle OEF\backsim \triangle BOC$，$\therefore \angle EOF=\angle OBC$。$\therefore \angle AON=\angle AOE+\angle EOF=\angle OBC+\angle ONB$，$\therefore \angle AOE=\angle ONB$，即$y=\alpha$（$0^{\circ }＜\alpha ＜144^{\circ }$）。当点N在B左侧时，如图2。同理，在射线ON上截取$MF=OM$，联结EF、DF。同样可以证明$\triangle OEF\backsim \triangle BOC$。$\therefore \angle EOF=\angle OBC$。$\therefore \angle ONB=\angle BOE=180^{\circ }-\angle AOE$，即$y=180^{\circ }-\alpha$（$144^{\circ }＜\alpha ＜180^{\circ }$）。当点N在B右侧时，当$OB=ON$时，如图3，旋转角$\alpha =36^{\circ }$；当$BO=BN$时，如图4，旋转角$\alpha =72^{\circ }$；当$NO=NB$时，如图5，旋转角$\alpha =108^{\circ }$；当点N在B左侧时（$ON＞OB$，$NO＞NB$），此时$\angle OBN$是钝角，只存在$BO=BN$，如图6，旋转角$\alpha =162^{\circ }$。综上所述，当旋转角$\alpha$分别为$36^{\circ }$、$72^{\circ }$、$108^{\circ }$、$162^{\circ }$时，$\triangle ONB$为等腰三角形。




（注：原文中“图6”未给出对应img标签的完整内容，无法准确补充）