《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

12 如图,已知点 $ D $、$ F $ 在 $ \triangle ABC $ 的边 $ AB $ 上,点 $ E $ 在边 $ AC $ 上,且 $ DE // BC $, $ \frac{AF}{AD} = \frac{AD}{AB} $。求证:$ EF // DC $。

答案： 因为DE//BC，所以$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。因为$\frac{AF}{AD}=\frac{AD}{AB}$，所以$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}$，所以EF//DC。

13 如图,$ E $、$ G $、$ H $、$ F $ 分别是四边形 $ ABCD $ 各边上的点,且 $ AE \cdot FD = EB \cdot AF $, $ BG \cdot HC = GC \cdot DH $,求证:$ EO \cdot GO = FO \cdot HO $。

答案： 联结EF、BD、GH，因为AE·FD=EB·AF，所以$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}$，所以EF//BD，因为BG·HC=GC·DH，所以$\frac{GC}{BG}=\frac{HC}{DH}$，所以GH//BD，所以EF//GH，所以$\frac{EO}{HO}=\frac{FO}{GO}$，所以EO·GO=FO·HO。

14 如图,$ M $、$ N $ 分别为 $ \triangle ABC $ 中 $ AB $、$ BC $ 边上的点,$ \frac{AM}{BM} = \frac{3}{2} $, $ \frac{CN}{BN} = \frac{4}{5} $, $ MN $ 与中线 $ BD $ 相交于点 $ O $,求 $ \frac{DO}{BO} $ 的值。

答案： 过点B作BE//AC交NM的延长线于点E，延长MN交AC的延长线于点F，由BE//AC得$\frac{AM}{BM}=\frac{AF}{BE}$，$\frac{CN}{BN}=\frac{CF}{BE}$，$\frac{DO}{BO}=\frac{DF}{BE}$．由$\frac{AM}{BM}=\frac{3}{2}$得$\frac{AF}{BE}=\frac{3}{2}$．设AF=3x，BE=2x，由$\frac{CN}{BN}=\frac{4}{5}$，得$\frac{CF}{BE}=\frac{4}{5}$，可得$CF=\frac{8}{5}x$，$AC=3x-\frac{8}{5}x=\frac{7}{5}x$．因为D是AC中点，可得$DC=\frac{7}{10}x$，所以$DF=DC+CF=\frac{23}{10}x$，所以$\frac{DO}{BO}=\frac{DF}{BE}=\frac{\frac{23}{10}x}{2x}=\frac{23}{20}$．