《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

20 已知:正方形ABCD,点E在边CD上,点F在线段BE的延长线上,且$∠FCE= ∠CBE$。
(1)如图1,当点E为CD边的中点时,求证:CF= 2EF;
(2)如图2,当点F位于线段AD的延长线上,求证:$\frac {EF}{BE}= \frac {DE}{DF}$。

答案： （1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC。
∵点E为CD边的中点，
∴$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}BC$。
∵∠FCD=∠CBE，∠F=∠F，
∴△FCE∽△FBC。
∴$\frac{EF}{CF}=\frac{CE}{BC}$。
∴CF=2EF。（2）
∵四边形ABCD是正方形，
∴DE//AB，AD//BC，AD=CD。
∵点F位于线段AD的延长线上，DE//AB，
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{DF}{AD}$。又
∵AD=CD，
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{DF}{CD}$。
∵AF//BC，
∴∠DFE=∠CBE。又
∵∠DCF=∠CBE，
∴∠DFE=∠DCF。又
∵∠FDE=∠CDF，
∴△FDE∽△CDF。
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{DF}{CD}$。
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{DE}{DF}$。

21 如图,在△ABC中,AB= AC,D是边BC的中点,DE⊥AC,垂足为点E。
(1)求证:DE·CD= AD·CE;
(2)设F为DE的中点,联结AF、BE,求证:AF·BC= AD·BE。

答案： （1）
∵AB=AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC。
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=∠ADC=90°。又
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{CE}{CD}$，
∴DE·CD=AD·CE。（2）
∵D是边BC的中点，F为DE的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}BC$，DE=2DF。
∵$\frac{DE}{AD}=\frac{CE}{CD}$即$\frac{DE}{CE}=\frac{AD}{CD}$，
∴$\frac{2DF}{CE}=\frac{AD}{\frac{1}{2}BC}$，
∴$\frac{DF}{CE}=\frac{AD}{BC}$。
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠DAC=90°。
∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠DAC=90°。
∴∠C=∠ADE。
∴△ADF∽△BCE，
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BC}$，
∴AF·BC=AD·BE。

22 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,BC= 18,DB= DC= 15,点E、F分别在线段BD、CD上,DE= DF= 5。AE的延长线交边BC于点G,AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H。
(1)求证:BG= CH;
(2)设AD= x,△ADN的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)联结FG,当△HFG与△ADN相似时,求AD的长。

答案： （1）
∵AD//BC，
∴$\frac{AD}{BG}=\frac{DE}{EB}$，$\frac{AD}{CH}=\frac{DF}{FC}$。
∵DB=DC=15，DE=DF=5，
∴$\frac{DE}{EB}=\frac{DF}{FC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{BG}=\frac{AD}{CH}$。
∴BG=CH。（2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q。
∵DB=DC=15，BC=18，
∴BP=CP=9，DP=12。
∵$\frac{AD}{BG}=\frac{DE}{EB}=\frac{1}{2}$，
∴BG=CH=2x，
∴BH=18+2x。
∵AD//BC，
∴$\frac{AD}{BH}=\frac{DN}{NB}$，
∴$\frac{x}{18+2x}=\frac{DN}{NB}$，
∴$\frac{x}{18+2x+x}=\frac{DN}{NB+DN}=\frac{DN}{15}$，
∴$DN=\frac{5x}{x+6}$。
∵AD//BC，
∴∠ADN=∠DBC，
∵∠NQD=∠DPB=90°，
∴△NQD∽△DPB，
∴$\frac{NQ}{DN}=\frac{PD}{BD}$，
∴$NQ=\frac{4x}{x+6}$。
∴$y=\frac{1}{2}AD\cdot NQ=\frac{1}{2}\cdot x\cdot \frac{4x}{6+x}=\frac{2x^{2}}{x+6}$（0＜x≤9）。（3）
∵AD//BC，
∴∠DAN=∠FHG。（i）当∠ADN=∠FGH时，
∵∠ADN=∠DBC，
∴∠DBC=∠FGH，
∴BD//FG，
∴$\frac{BG}{BC}=\frac{DF}{DC}$，
∴$\frac{BG}{18}=\frac{5}{15}$，
∴BG=6，
∴AD=3。（ii）当∠ADN=∠GFH时，
∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，又
∵∠AND=∠FGH，
∴△ADN∽△FCG。
∴$\frac{AD}{DN}=\frac{FC}{CG}$，
∴$x\cdot (18-2x)=\frac{5x}{x+6}\cdot 10$，整理得$x^{2}-3x-29=0$，解得$x=\frac{3+5\sqrt{5}}{2}$，或$x=\frac{3-5\sqrt{5}}{2}$（舍去）。综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或$\frac{3+5\sqrt{5}}{2}$。