《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

13 如图,已知:$\triangle ABC$中,点 D、E 分别在 AB、AC 上,$AB= 9,AC= 6,AD= 2$,$AE= 3$。
(1) 求$\frac{DE}{BC}$的值;
(2) 设$\overrightarrow{AB}= \vec{a},\overrightarrow{AC}= \vec{b}$,求$\overrightarrow{DE}$(用含$\vec{a}$、$\vec{b}$的式子表示)。

答案：
(1)
∵AB=9,AC=6,AD=2,AE=3,
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$,$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$。
∵ $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，又∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB,
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$。
(2)
∵AB=9,AD=2,
∴AD =$\frac{2}{9}$AB, $\overrightarrow{DA}=-\frac{2}{9}\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{9}\vec{a}$。同理, $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\vec{b}$,
∴ $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=-\frac{2}{9}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$。

14 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,且$AE= 2ED$,联结 BE 并延长交边CD 的延长线于点 F,设$\overrightarrow{BA}= \vec{a},\overrightarrow{BC}= \vec{b}$。
(1) 用$\vec{a}$、$\vec{b}表示\overrightarrow{BE}$、$\overrightarrow{DF}$;
(2) 先化简,再求作:$(-\frac{3}{2}\vec{a}+\vec{b})+2(\vec{a}-\vec{b})$。(不要求写作法,但要写明结论)

答案：

(1)如图,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\vec{b}$，AB//CD,
∵AE=2ED,
∴ $\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\vec{b}$,
∴ $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=-\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}$。
∵DF:AB=DE:AE=1:2,
∴DF=$\frac{1}{2}$AB,
∴ $\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}\vec{a}$。

(2)$(-\frac{3}{2}\vec{a}+\vec{b})+2(\vec{a}-\vec{b})=-\frac{3}{2}\vec{a}+\vec{b}+2\vec{a}-2\vec{b}=\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b}$，取AB的中点H,联结HC, $\overrightarrow{CH}$即为所求。

15 如图,已知两个不平行的向量$\vec{a}$、$\vec{b}$。
(1) 化简:$2(3\vec{a}-\vec{b})-(\vec{a}+\vec{b})$;
(2) 求作$\vec{c}$,使得$\vec{c}= \vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$。
(不要求写作法,但要指出所作图中表示结论的向量)

答案：
(1)$2(3\vec{a}-\vec{b})-(\vec{a}+\vec{b})=6\vec{a}-2\vec{b}-\vec{a}-\vec{b}=5\vec{a}-3\vec{b}$。
(2)略