《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

11 如图,线段$AB= 2$,点$C是AB的黄金分割点(AC\lt BC)$,点$D$(不同于$C$点)在$AB$上,且$AD^{2}= BD\cdot AB$,求$\frac {CD}{AC}$的值。

答案： $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

12 已知$P$、$Q是线段AB$上的两个黄金分割点,且$PQ= 2\sqrt {5}-4$,求$AB$的长。

答案： 2

13 如图,$AD是\triangle ABC中\angle BAC$的角平分线。求证：$\frac {AB}{AC}= \frac {BD}{DC}$。

答案： 过点 D 作$DH\perp AB$于点 H，$DG\perp AC$于点 G，因为 AD 是$\angle BAC$的角平分线，所以$DH=DG$，所以$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}=\frac{AB}{AC}$，又因为$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}=\frac{BD}{CD}$，所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$。

14 同学们知道如何作一条线段的黄金分割点吗？可按照以下方式进行。
如图,已知线段$AB$,按照如下方法作图：
① 经过点$B作BD\perp AB$,使$BD= \frac {1}{2}AB$；
② 连接$AD$,在$DA上截取DE= DB$；
③ 在$AB上截取AC= AE$,则点$C为线段AB$的黄金分割点。
请同学们证明以上作法所得到的点$C就是AB$的黄金分割点。

答案： 设$AB=2a$，则$BD=a$，由勾股定理可知$AD=\sqrt{5}a$，因为$DE=DE=a$，所以$AC=AE=(\sqrt{5}-1)a$，$BC=(3-\sqrt{5})a$，由计算可得$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，所以点 C 是线段 AB 的黄金分割点。