《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

14 如图,已知点 $E$是四边形 $ABCD$的对角线 $BD$上一点,且 $\angle BAC= \angle BDC= \angle DAE$。
求证：(1) $\triangle ABE\backsim\triangle ACD$；
(2) $BC\cdot AD = DE\cdot AC$。

答案：
(1)设$AC$、$BD$交于点$O$。因为$\angle BAC=\angle DAE$，所以$\angle BAE=\angle DAC$。又因为$\angle BAC=\angle BDC$，$\angle BOA=\angle DOC$，所以$\angle ABE=\angle ACD$，因此$\triangle ABE\backsim \triangle ACD$。
(2)因为$\triangle ABE\backsim \triangle ACD$，所以$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$。又因为$\angle BAC=\angle DAE$，所以$\triangle ABC\backsim \triangle AED$，即得$\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AD}$，所以$BC\cdot AD=DE\cdot AC$。

15 已知,在等腰梯形 $ABCD$中,$AD// BC$,$\angle B= \angle BCD = 45^{\circ}$,$AD = 3$,$BC = 9$,点 $P$是对角线 $AC$上的一个动点,且 $\angle APE= \angle B$,$PE$分别交射线 $AD$和射线 $CD$于点 $E$和点 $G$。
(1) 如图1,当点 $E$、$D$重合时,求 $AP$的长；
(2) 如图2,当点 $E$在 $AD$的延长线上时,设 $AP = x$,$DE = y$,求 $y$关于 $x$的函数解析式,并写出它的定义域；
(3) 当线段 $DG= \sqrt{2}$时,求 $AE$的值。

答案：

(1)作$AH\perp BC$于点$H$，如图1所示：因为在等腰梯形$ABCD$中，$\angle B=\angle BCD = 45^{\circ}$，$AD = 3$，$BC = 9$，所以$BH = AH=\frac{1}{2}(BC - AD)=\frac{1}{2}×(9 - 3)=3$。根据勾股定理得$AB=\sqrt{AH^{2}+BH^{2}}=3\sqrt{2}$，$CH = BC - BH=9 - 3 = 6$，所以$AC=\sqrt{AH^{2}+HC^{2}}=3\sqrt{5}$。因为$AD// BC$，所以$\angle DAP=\angle ACB$，又$\angle APE=\angle B$，所以$\triangle ADP\backsim \triangle CAB$，则$\frac{AD}{AC}=\frac{AP}{BC}$，即$\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{AP}{9}$，所以$AP=\frac{9\sqrt{5}}{5}$。

(2)如图2所示，因为$AD// BC$，所以$\angle DAP=\angle ACB$。因为$\angle APE=\angle B$，所以$\triangle APE\backsim \triangle CBA$，则$\frac{AE}{AC}=\frac{AP}{BC}$，即$\frac{3 + y}{3\sqrt{5}}=\frac{x}{9}$，所以$y=\frac{\sqrt{5}}{3}x - 3$（$\frac{9\sqrt{5}}{5}＜x\leqslant 3\sqrt{5}$）。

(3)分两种情况考虑：①当点$G$在线段$CD$上时，作$DM// EP$交$AC$于点$M$，如图2所示，由
(1)同理可得$AM=\frac{9\sqrt{5}}{5}$，所以$CM=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。因为$DG=\sqrt{2}$，$CD = AB = 3\sqrt{2}$，所以$CG = 2\sqrt{2}$。因为$GP// DM$，所以$\frac{CG}{DG}=\frac{CP}{MP}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}-MP}{MP}$，所以$MP=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。因为$DM// EP$，所以$\frac{AD}{DE}=\frac{AM}{MP}$，即$\frac{3}{DE}=\frac{\frac{9\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$，解得$DE=\frac{2}{3}$，所以$AE = AD + DE=3+\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$。　　②当点$G$在$CD$的延长线上时，如图3所示，同①可得$DE=\frac{2}{3}$，所以$AE = AD - DE=3-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}$。