《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

11 已知向量$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$,且$\vec{a}+2\vec{b}= 3\vec{c}$,$\vec{b}+\frac{20}{3}\vec{c}= 2\vec{a}$,用消去$\vec{a}的方法判断向量\vec{b}与\vec{c}$是否反向平行? 并用实数与向量的意义加以说明。

答案： 因为$\vec{a}+2\vec{b}=3\vec{c}$,所以$\vec{a}=-2\vec{b}+3\vec{c}$,因为$\vec{b}+\frac{20}{3}\vec{c}=2\vec{a}$,所以$\vec{a}=\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{10}{3}\vec{c}$,$-2\vec{b}+3\vec{c}=\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{10}{3}\vec{c}$,$\vec{b}=-\frac{2}{15}\vec{c}$,即$\vec{b}//\vec{c}$,且反向平行。

12 如图,已知在梯形$ABCD$中,$AB// CD$,$AB= 12$,$CD= 7$,点$E在AD$上,$\frac{DE}{AE}= \frac{2}{3}$,过点$E作EF// AB交边BC于点F$。
(1)求线段$EF$的长;
(2)设$\overrightarrow{AB}= \vec{a}$,$\overrightarrow{AD}= \vec{b}$,联结$AF$,请用向量$\vec{a}$、$\vec{b}表示向量\overrightarrow{AF}$。

答案： （1）过点C作CN // DA交线段EF于点M,交线段AB于点N,又
∵ AB // CD,EF // AB,
∴ DE = CM,EA = MN,DC = EM = AN = 7(夹在两条平行线之间的平行线段相等),又
∵ MF // NB,
∴ △CMF∽△CNB,
∴ $\frac{MF}{NB}=\frac{CM}{CN}=\frac{DE}{DA}=\frac{DE}{DE+EA}=\frac{2}{2+3}$ = $\frac{2}{5}$。又
∵ NB = AB - AN = 12 - 7 = 5,
∴ MF = $\frac{2}{5}× NB=2$。
∴ EF = EM + MF = 7 + 2 = 9。故线段EF长为9。 （2）$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}$,又
∵ $\frac{AE}{AD}=\frac{AE}{AE+ED}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}$,$\frac{EF}{AB}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$,
∴ $\overrightarrow{AE}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AD}=\frac{3}{5}\vec{b}$,$\overrightarrow{EF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=\frac{3}{4}\vec{a}$,
∴ $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}=\frac{3}{5}\vec{b}+\frac{3}{4}\vec{a}$。

13 如图,在平行四边形$ABCD$中,对角线$AC$、$BD相交于点O$,点$E在边BC$上,$AE与BD相交于点G$,$AG:GE= 3:1$。
(1)求$EC:BC$的值;
(2)设$\overrightarrow{BA}= \vec{a}$,$\overrightarrow{AO}= \vec{b}$,那么$\overrightarrow{EC}=$$\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{4}{3}\vec{b}$,$\overrightarrow{GB}=$$-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}$。(用向量$\vec{a}$、$\vec{b}$表示)

(1)$\frac{2}{3}$

答案： （1）
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD // BC,AD = BC,
∴ $\frac{AG}{GE}=\frac{AD}{BE}$。
∵ $\frac{AG}{GE}=\frac{3}{1}$,
∴ $\frac{AD}{BE}=\frac{3}{1}$。
∴ $\frac{EC}{BC}=\frac{2}{3}$。 （2）$\overrightarrow{EC}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{4}{3}\vec{b}$,$\overrightarrow{GB}=-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}$。

14 如图,在平行四边形$ABCD$中,$E为DC$上一点,$AE与BD交于点F$,$DE:EC= 2:3$。
(1)求$BF:DF$的值;
(2)如果$\overrightarrow{AD}= \vec{a}$,$\overrightarrow{AB}= \vec{b}$,试用$\vec{a}$、$\vec{b}表示向量\overrightarrow{AF}$。

答案： （1）
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ DC // AB,DC = AB,
∴ $\frac{BF}{DF}=\frac{AB}{DE}$。
∵ DE∶EC = 2∶3,
∴ DC∶DE = 5∶2,
∴ AB∶DE = 5∶2,
∴ BF∶DF = 5∶2。 （2）
∵ BF∶DF = 5∶2,
∴ BF = $\frac{5}{7}$BD,
∵ $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$,
∴ $\overrightarrow{BD}=\vec{a}-\vec{b}$,
∴ $\overrightarrow{BF}=\frac{5}{7}\overrightarrow{BD}=\frac{5}{7}\vec{a}-\frac{5}{7}\vec{b}$,
∵ $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$,
∴ $\overrightarrow{AF}=\vec{b}+\frac{5}{7}\vec{a}-\frac{5}{7}\vec{b}=\frac{5}{7}\vec{a}+\frac{2}{7}\vec{b}$。