《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

13 如图,半圆$\odot O上依次有四个点A$、$B$、$C$、$D$,且$∠AOB = ∠COD$,求证：四边形$ABCD$是等腰梯形。

答案： 记 OB、OC 分别交 AD 于点 E、F,因为$OA=OD$,所以$\angle OAD=\angle ODA$,得$\angle OEF$$=\angle OFE$,所以$\angle OEF=\angle OBC=\frac{1}{2}(180^{\circ }-\angle BOC)$,所以$AD// BC$。又因为$\angle AOB=$$\angle COD$,所以$AB=CD$,所以四边形 ABCD 是等腰梯形。

14 在学习圆与正多边形时,马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：
① 如图,作直径$AD$；
② 作半径$OD$的垂直平分线,交$\odot O于B$、$C$两点；
③ 联结$AB$、$AC$、$BC$,那么$\triangle ABC$为所求的三角形。
请问：两位同学的作法是否正确？如果正确,请你按照两位同学设计的画法,画出$\triangle ABC$,然后给出$\triangle ABC$是等边三角形的证明过程；如果不正确,请说明理由。

答案： 两位同学的方法正确。过 OD 中点 E 作线段 OD 的中垂线交圆于点 B、C,联结 BO、CO。因为 BC 垂直平分 OD,所以在$\text{Rt}\triangle OEB$中,$\cos \angle BOE=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{2}$,$\angle BOE=60^{\circ }$,因为$\triangle BOC$是等腰三角形,所以$\angle BOC=120^{\circ }$,由于 AD 为直径,所以$\angle AOB=\angle AOC$$=120^{\circ }$,所以$AB=BC=CA$,即$\triangle ABC$为等边三角形。