《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

14 在平面直角坐标系 $xOy$ 中,将点 $P_1(a, b - a)$ 定义为点 $P(a, b)$ 的“关联点”。已知：点 $A(x, y)$ 在函数 $y = x^2$ 的图像上(如图所示),点 $A$ 的“关联点”是点 $A_1$。
(1) 请在原图的基础上画出函数 $y = x^2 - 2$ 的图像,简要说明画图方法；
(2) 如果点 $A_1$ 在函数 $y = x^2 - 2$ 的图像上,求点 $A_1$ 的坐标；
(3) 将点 $P_2(a, b - na)$ 称为点 $P(a, b)$ 的“待定关联点”(其中,$n ≠ 0$)。如果点 $A(x, y)$ 的“待定关联点”$A_2$ 在函数 $y = x^2 - n$ 的图像上,试用含 $n$ 的代数式表示点 $A_2$ 的坐标。

答案：
(1)图像基本正确(开口方向、对称轴、顶点、大致光滑)。将原图中的抛物线y=x²向下平移2个单位,可得抛物线y=x²-2。(备注:如果使用“列表、描点、连线”的方式叙述,需要呈现列表使用的表格)
(2)由题意得点A(x,y)的“关联点”为A₁(x,y-x),由点A(x,y)在抛物线y=x²上,可得A(x,x²),A₁(x,x²-x),又因为A₁(x,y-x)在抛物线y=x²-2上,所以x²-x=x²-2,解得x=2,将x=2代入A₁(x,x²-x),得A₁(2,2)。
(3)点A(x,y)的“待定关联点”为A₂(x,x²-nx),因为A₂(x,x²-nx)在抛物线y=x²-n的图像上,所以x²-nx=x²-n。所以n-nx=0,n(1-x)=0。又因为n≠0,所以x=1。当x=1时,x²-nx=1-n,故可得A₂(1,1-n)。