《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

11 如果函数 $ y = ( m + 1 ) x ^ { m ^ { 2 } - m } + ( m - 1 ) x + m ^ { 2 } $ 是二次函数,求 $ m $ 的值。

答案： 由题意得{m²-m=2,m+1≠0,解得m=2,所以m的值为2。

12 如图,在直角梯形 $ A B C D $ 中,$ \angle A = \angle D = 90 ^ { \circ } $,截取 $ A E = B F = D G = x $。已知 $ A B = 6 $,$ C D = 3 $,$ A D = 4 $。求四边形 $ C G E F $ 的面积 $ S $ 关于 $ x $ 的函数解析式和 $ x $ 的取值范围。

答案： S=S_ABCD-S_△EGD-S_△EFA-S_△BGF=1/2×(3+6)×4-1/2x(4-x)-1/2x(6-x)-1/2×4x=x²-7x+18,因为{x＞0,3-x＞0,4-x＞0,6-x＞0,所以0＜x＜3,故S=x²-7x+18(0＜x＜3)。

13 某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10 元出售,一天可销出约 100 件。该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润。经过市场调查,发现这种商品单价每降低 0.1 元,其销售量可增加 10 件,将这种商品的售价降低 $ x $ 元时,销售利润为 $ y $ 元。求 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式,并求函数的定义域。

答案： y=(2-x)(100+100x)=-100x²+100x+200(0≤x≤2)。

14 如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ B C = 4 $,$ \angle B = 45 ^ { \circ } $,$ A B = 3 \sqrt { 2 } $,$ M $、$ N $ 分别是 $ A B $、$ A C $ 上的点,$ M N // B C $。设 $ M N = x $,$ \triangle M N C $ 的面积为 $ S $。
(1) 求出 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数关系式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(2) 是否存在平行于 $ B C $ 的线段 $ M N $,使 $ \triangle M N C $ 的面积等于 2？若存在,请求出 $ M N $ 的长；若不存在,请说明理由。

答案： （1）过点A作AD⊥BC于点D，则有AD=3√2×sin45°=3√2×√2/2=3。设△MNC的MN边上的高为h，因为MN//BC，所以x/4=3-h/3。可得h=12-3x/4,所以S=1/2MN·h=1/2·x·12-3x/4=-3/8x²+3/2x，即S=-3/8x²+3/2x(0＜x＜4)。（2）若存在这样的线段MN，使S_△MNC=2，则关于x的方程-3/8x²+3/2x=2必有实根，即3x²-12x+16=0必有实根。而Δ=(-12)²-4×3×16=-48＜0，此方程无实根，所以不存在这样的线段MN。