《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

13 已知梯形ABCD中,$AD// BC,∠A= 90^{\circ },AD= CD$,点E、F分别是CD、AD的中点,BE与CF相交于点M,求证:$DE^{2}= BE\cdot ME$。

答案： 过点E作EG⊥AB，垂足为点G。易证：AD//EG//BC。
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{DE}{EC}$，
∵DE=EC，
∴AG=BG。
∴AE=BE。
∴∠EAB=∠EBA。
∴∠DAB-∠EBA=∠CBA-∠EBA。
∴∠DAE=∠CBE。易证△ADE∽△CDF，
∴∠DAE=∠DCF，
∴∠CBE=∠DCF。
∴△MEC∽△CEB。
∴CE²=BE·ME。
∵CE=DE，
∴DE²=BE·ME。

14 已知:在$△ABC$中,点D、E分别在边BC和AB上,且$AD= AC,EB= ED$,分别延长ED、AC交于点F。求证:
(1)$△ABD\backsim △FDC;$
(2)$AE^{2}= BE\cdot EF$。

答案：
(1)
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD。又
∵∠ADB=180°-∠ADC，∠FCD=180°-∠ACD，
∴∠ADB=∠FCD。
∵EB=ED，
∴∠B=∠EDB，又
∵∠EDB=∠CDF，
∴∠B=∠CDF，
∴△ABD∽△FDC。
(2)
∵△ABD∽△FDC，
∴∠BAD=∠F，又∠AEF=∠FEA，
∴△AED∽△FEA。
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{DE}{AE}$。又EB=ED，则AE²=BE·EF。

15 已知:在$△ABC$中,点D、E分别在边AB、AC上,$DE// BC,∠ABE= ∠C$。
(1)求证:$BE^{2}= DE\cdot BC;$
(2)当BE平分$∠ABC$时,求证:$\frac {BD}{BE}= \frac {AE}{AB}$。

答案：
(1)
∵DE//BC，
∴∠BED=∠CBE。又
∵∠ABE=∠C，
∴△BDE∽△CEB。
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{BE}{BC}$。
∴BE²=DE·BC。
(2)
∵DE//BC，
∴∠AED=∠C。又∠ABE=∠C，
∴∠AED=∠ABE。又
∵∠EAD=∠BAE，
∴△ADE∽△AEB。
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AE}$。
∵DE//BC，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$，即$\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$。
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{BD}{CE}$。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，又
∵∠ABE=∠C，
∴∠CBE=∠C。
∴BE=CE。
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{AE}{AB}$。