《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

13 如图,已知点$A$、$B在射线OM$上,点$C$、$D在射线ON$上,$AC// BD,\frac {OA}{AB}= \frac {1}{2},$$\overrightarrow {OA}= \overrightarrow {a},\overrightarrow {OC}= \overrightarrow {b}$。
(1) 求向量$\overrightarrow {BD}关于\overrightarrow {a}$、$\overrightarrow {b}$的分解式;
(2) 求作向量$2\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}$。(不要求写作法,但要保留作图痕迹,并写明结论)

答案：
(1) $\because \frac{OA}{AB}=\frac{1}{2},\therefore OB=3OA$。$\because AC// BD,\therefore \frac{OC}{CD}=\frac{OA}{AB}=\frac{1}{2}$。$\therefore OD=3OC$。$\because \overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OC}=\vec{b},\therefore \overrightarrow{OB}=3\vec{a},\overrightarrow{OD}=3\vec{b}$。$\therefore \overrightarrow{BD}=-3\vec{a}+3\vec{b}$。
(2)作图略

14 如图,在梯形$ABCD$中,$AD// BC,BC= 2AD$,对角线$AC$、$BD相交于点O$,设$\overrightarrow {AD}= \overrightarrow {a},\overrightarrow {AB}= \overrightarrow {b}$。
(1) 试用$\overrightarrow {a}$、$\overrightarrow {b}的式子表示向量\overrightarrow {AO}$;
(2) 在图中作出向量$\overrightarrow {DO}在\overrightarrow {a}$、$\overrightarrow {b}$方向上的分向量,并写出结论。

答案：
(1) $\because AD// BC,BC=2AD,\therefore \frac{AO}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2},\therefore \frac{AO}{AC}=\frac{1}{3}$,即$AO=\frac{1}{3}AC$。$\because \overrightarrow{AD}=\vec{a},\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{AD}$同向，$\therefore \overrightarrow{BC}=2\vec{a}$。$\because \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec{b}+2\vec{a},\therefore \overrightarrow{AO}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{a}$。
(2)作图略

15 如图,在平行四边形$ABCD$中,对角线$AC$、$BD相交于点O$。$E为边AB$上一点,且$BE= 2AE$。设$\overrightarrow {AB}= \overrightarrow {a},\overrightarrow {AD}= \overrightarrow {b}$。
(1) 填空:向量$\overrightarrow {DE}= $$\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}$;
(2) 如果点$F是线段OC$的中点,那么向量$\overrightarrow {EF}= $$\frac{5}{12}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}$,并在图中画出向量$\overrightarrow {EF}在向量AB和AD$方向上的分向量。

答案：
(1) $\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}$
(2) $\frac{5}{12}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}$ 作图略