《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

12 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ O $ 在边 $ BC $ 上,$ \angle BAO = 30^{\circ} $,$ \angle OAC = 75^{\circ} $,$ AO = 3\sqrt{3} $,$ BO : CO = 1 : 3 $,求 $ AB $ 的长。

答案： 过点 C 作$CD// AB$,交 AO 的延长线于点 D,可得$\frac{AB}{CD}=\frac{OB}{CO}=\frac{AO}{OD}=$ $\frac{1}{3}$,$\angle D=\angle BAO=30^{\circ}$。由$\frac{AO}{OD}=\frac{1}{3}$,$AO=3\sqrt{3}$得$OD=9\sqrt{3}$,则$AD=12\sqrt{3}$。又由$\angle D=30^{\circ}$,$\angle OAC=75^{\circ}$可知$\angle DCA=75^{\circ}$,得$\angle OAC=\angle DCA$,所以$CD=AD=12\sqrt{3}$,由$\frac{AB}{CD}=\frac{1}{3}$,得$AB=4\sqrt{3}$。

13 如图,在等腰 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,分别过点 $ B $、$ C $ 作两腰的平行线,经过点 $ A $ 的直线与两平行线分别交于点 $ D $、$ E $,联结 $ DC $、$ BE $,$ DC $ 与 $ AB $ 相交于点 $ M $,$ BE $ 与 $ AC $ 相交于点 $ N $,若 $ DE $ 与 $ BC $ 不平行,求证：$ AM = CN $。

答案： 延长 DB、EC,两线相交于点 P,因为$AB// CE$,所以$\frac{AM}{EC}=\frac{AD}{DE}=\frac{AB}{EP}$,即$\frac{AM}{AB}=\frac{EC}{EP}$,因为$AC// DP$,所以$\frac{CN}{BP}=\frac{EC}{EP}$,所以$\frac{AM}{AB}=\frac{CN}{BP}$,易证四边形 ABPC 是菱形,得$AB=BP$,所以$AM=CN$。

14 如图,在梯形 $ ABCD $ 中,$ AD // BC $,$ AB = DC $,对角线 $ AC $、$ BD $ 相交于点 $ F $,点 $ E $ 是边 $ BC $ 延长线上一点,且 $ \angle CDE = \angle ABD $。
(1) 求证：四边形 $ ACED $ 是平行四边形；
(2) 联结 $ AE $,交 $ BD $ 于点 $ G $,求证：$ \frac{DG}{GB} = \frac{DF}{DB} $。

答案： （1）因为梯形 ABCD,$AD// BC$,$AB=DC$,所以$\angle BAD=\angle CDA$,所以$\triangle BAD\cong\triangle CDA(SAS)$,所以$\angle ABD=\angle ACD$。因为$\angle CDE=\angle ABD$,所以$\angle ACD=\angle CDE$,所以$AC// DE$。因为$AD// CE$,所以四边形 ACED 是平行四边形。（2）因为$AD// BC$,所以$\frac{DG}{GB}=\frac{AD}{BE}$,$\frac{DF}{FB}=\frac{AD}{BC}$,所以$\frac{DF}{DF+FB}=\frac{AD}{AD+BC}$,即$\frac{DF}{DB}=\frac{AD}{BE}$,所以$\frac{DG}{GB}=\frac{DF}{DB}$。