《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

13 如图,已知$\sin\angle ABC= \frac{1}{3}$,⊙O的半径为2,圆心O在射线BC上,⊙O与射线BA相交于E、F两点,EF= $2\sqrt{3}$,求BO的长。

答案： 过点 O 作 OH ⊥ EF,联结 OE = 2, EH = $\sqrt{3}$, OH = 1,因为 sin∠ABC = $\frac{OH}{BO}$ = $\frac{1}{3}$,所以 OB = 3。

14 如图1,△ABC为等边三角形,AB= $4\sqrt{3}$,AH⊥BC,垂足为点H,点D在线段HC上,且HD= 2,点P为线段AH上任意一点,以点P为圆心,线段PD的长为半径作⊙P,设AP= x。
(1) 当x= 3时,求⊙P的半径长；
(2) 如图2,如果⊙P与线段AB相交于E、F两点,且EF= y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域。

答案：
(1)
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ AB = AC = $4\sqrt{3}$, ∠B = 60°。又
∵ AB = $4\sqrt{3}$, AH ⊥ BC,
∴ AH = AB·sin∠B = $4\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}$ = 6。即得 PH = AH - AP = 6 - x = 3。在 Rt△PHD 中, HD = 2,利用勾股定理,得 PD = $\sqrt{PH^2 + DH^2}$ = $\sqrt{3^2 + 2^2}$ = $\sqrt{13}$。
∴ 当 x = 3 时,⊙P 的半径长为 $\sqrt{13}$。
(2) 过点 P 作 PM ⊥ EF,垂足为点 M,联结 PE。在 Rt△PHD 中, HD = 2, PH = 6 - x。利用勾股定理,得 PD = $\sqrt{PH^2 + DH^2}$ = $\sqrt{(6 - x)^2 + 4}$。
∵ △ABC 为等边三角形, AH ⊥ BC,
∴ ∠BAH = 30°。即得 PM = $\frac{1}{2}$AP = $\frac{1}{2}x$。在⊙P 中, PE = PD。
∵ PM ⊥ EF, P 为圆心,
∴ EM = $\frac{1}{2}$EF = $\frac{1}{2}y$。于是,在 Rt△PEM 中,由勾股定理得 PM² + EM² = PE²。即得 $\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}y^2$ = $(6 - x)^2 + 4$。
∴ 所求函数的解析式为 y = $\sqrt{3x^2 - 48x + 160}$,定义域为 $\frac{10}{3} \leq x ＜ \frac{24 - 4\sqrt{6}}{3}$。