《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

12 如图1,小杰制作了一副弓箭,点A、D分别是弓臂BAC与弓弦的中点,弓弦BC= 60cm,沿AD方向拉弓的过程中,假设弓臂始终保持圆弧,弓弦长度不变。如图2,当弓箭从D点拉到D'时,有AD'= 30cm,∠B'D'C'= 120°,求此时弓臂两端B'、C'之间的距离。

答案： 联结B'C'交AD'于点H。由题意，$B'D'=\frac{1}{2}BC=30$cm。因为AD'=30cm，所以D'是$\widehat{B'C'}$所在圆的圆心。因为点A是$\widehat{B'C'}$的中点，所以AD'⊥B'C'，所以∠B'D'H=$\frac{1}{2}∠B'D'C'=60°$，得$B'H=15\sqrt{3}$cm，即$B'C'=2B'H=30\sqrt{3}$cm。

13 如图,已知⊙O的半径OA为4,P是OA延长线上的一点,过线段OP的中点B作OP的垂线交⊙O于点C,射线PC交⊙O于点D,联结OD,若⌢AC= ⌢CD,求弦CD的长。

答案： 联结CO，因为CB垂直平分PO，所以∠COP=∠P，又因为$\widehat{AC}=\widehat{CD}$，∠DOC=∠P，所以∠OCD=∠ODC=2∠P，即有∠P=36°，所以$\frac{CD}{OD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则$CD=2\sqrt{5}-2$。

14 已知⊙O的半径为5,点C在直径AB上。过点C作⊙O的弦DE⊥AB,过点D作直线EB的垂线DF,垂足为点F。设AC= x,EF= y。
(1) 如图,当AC= 1时,求线段EB的长;
(2) 当点F在线段EB上时,求y与x之间的函数解析式,并写出定义域;
(3) 如果EF= 3BF,求线段AC的长。

答案：

(1) 如图1，联结OD，在⊙O中，因为OC⊥DE，OC=OA - AC = 4，BC=AB - AC = 9，所以$CE=CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。所以$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$。
(2) 与
(1) 同理得：$CE=CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{5^2-(5-x)^2}=\sqrt{10x-x^2}$。$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{(10-x)^2+10x-x^2}=\sqrt{100-10x}$。因为DF⊥EB，所以$\cos E=\frac{EF}{DE}=\frac{CE}{BE}$，即$\frac{y}{2\sqrt{10x-x^2}}=\frac{\sqrt{10x-x^2}}{\sqrt{100-10x}}$，因此y与x之间的函数解析式为$y=\frac{x\sqrt{100-10x}}{5}$，定义域为0＜x≤5。
(3) 如图2，当点F在线段EB上时，因为EF=3BF，所以$EF=\frac{3}{4}BE$，得$\frac{x\sqrt{100-10x}}{5}=\frac{3}{4}\sqrt{100-10x}$，解得x₁=10(不符合题意)，$x_2=\frac{15}{4}$。如图2，当点F在线段EB延长线上时，同理，$BE=\sqrt{100-10x}$，$EF=\frac{x\sqrt{100-10x}}{5}$。因为EF=3BF，所以$EF=\frac{3}{2}BE$，得$\frac{x\sqrt{100-10x}}{5}=\frac{3}{2}\sqrt{100-10x}$，解得x₁=10(不符合题意)，$x_2=\frac{15}{2}$。因此线段AC的长为$\frac{15}{4}$或$\frac{15}{2}$。