《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

12 如图,在$\triangle ABC$中,点$P在边BC$上,四边形$ADPE$是平行四边形,若$AB = 14$,$AD = 2$,$CE = 3$,求$AC$的长。

答案： 21

13 如图,在$\triangle ABC$中,$DE// BC$,$EF// DC$,求证:$AD^{2} = AB\cdot AF$。

答案： 因为DE$//$BC,所以$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。又因为EF$//$DC,所以$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AD}$,所以$\frac{AD}{AB}$$=\frac{AF}{AD}$,即$AD^{2}=AB\cdot AF$。

14 如图,在梯形$ABCD$中,$AD// BC$,$BC = 2AD$,点$E为边DC$的中点,$BE交AC于点F$。求:
(1)$AF:FC$的值;(2)$EF:BF$的值。

答案：
(1) 延长BE交AD的延长线于点M,因为AD$//$BC,所以$\frac{DE}{EC}=\frac{DM}{BC}$,$\frac{AF}{FC}=\frac{AM}{BC}$。因为点E为边DC的中点,所以DM=BC。又因为BC=2AD,所以DM=2AD,AM=AD+DM=3AD,所以$\frac{AF}{FC}=\frac{3}{2}$。
(2) 因为AD$//$BC,所以$\frac{FM}{BF}=\frac{AM}{BC}=\frac{3}{2}$,$\frac{EM}{BE}=\frac{DE}{EC}$=1,可得$\frac{BM}{BF}=\frac{5}{2}=\frac{10}{4}$,$\frac{BM}{BE}=\frac{2}{1}=\frac{10}{5}$,所以$\frac{BE}{BF}=\frac{5}{4}$,因此$\frac{EF}{BF}=\frac{1}{4}$。