《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

14 如图,正六边形$T_{1}和T_{2}分别是\odot O$的内接正六边形和外切正六边形。
(1) 设$T_{1}$、$T_{2}$的边长分别为a、b,$\odot O$的半径为r,求$a:r:b;$
(2) 求正六边形$T_{1}$、$T_{2}的面积比S_{1}:S_{2}$。

答案： 1. （1）
对于内接正六边形$T_1$：
因为正六边形$T_1$是$\odot O$的内接正六边形，连接圆心$O$与内接正六边形$T_1$的各顶点，由于内接正六边形的半径$r$等于它的边长$a$，所以$a = r$。
对于外切正六边形$T_2$：
连接圆心$O$与外切正六边形$T_2$的各顶点，再作圆心$O$到外切正六边形$T_2$一边的垂线（即边心距）。
设$\odot O$半径为$r$，外切正六边形$T_2$的边长为$b$，由正六边形的性质可知，圆心$O$与外切正六边形$T_2$一边的两个端点构成的三角形是等边三角形，且边心距$r$与$b$的关系为$\cos30^{\circ}=\frac{r}{b}$（其中$30^{\circ}$是等边三角形的一个角的一半）。
根据$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$r = b\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}b$，所以$b=\frac{2r}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}r}{3}$。
所以$a:r:b=r:r:\frac{2\sqrt{3}r}{3}=3:3:2\sqrt{3}$。
2. （2）
解：
根据正$n$边形面积公式$S = \frac{1}{2}nlr$（$n$是边数，$l$是边长，$r$是边心距），对于正六边形$n = 6$。
正六边形$T_1$的面积$S_1=\frac{1}{2}×6× a× r_1$，因为$T_1$是内接正六边形，$a = r$，边心距$r_1=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，所以$S_1=\frac{1}{2}×6× a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}$。
正六边形$T_2$的面积$S_2=\frac{1}{2}×6× b× r$，因为$T_2$是外切正六边形，$r$是$\odot O$半径，$b=\frac{2\sqrt{3}}{3}r$，所以$S_2=\frac{1}{2}×6× b× r = 3br$，把$b=\frac{2\sqrt{3}}{3}r$代入得$S_2 = 3×\frac{2\sqrt{3}}{3}r× r = 2\sqrt{3}r^{2}$。
又因为$a = r$，所以$S_1:S_2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}:2\sqrt{3}b^{2}$，由$a:b = \sqrt{3}:2$（由$a:r:b = 3:3:2\sqrt{3}$可得$a:b=\sqrt{3}:2$），设$a=\sqrt{3}k$，$b = 2k$。
则$S_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}k)^{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}k^{2}$，$S_2=2\sqrt{3}(2k)^{2}=8\sqrt{3}k^{2}$。
另一种方法：
因为正六边形$T_1$与$T_2$相似，相似比$k=\frac{a}{b}$（由（1）知$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{3}}{2}$）。
根据相似多边形面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_1}{S_2}=(\frac{a}{b})^{2}$。
把$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入得$\frac{S_1}{S_2}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=\frac{3}{4}$。
综上，（1）$a:r:b = 3:3:2\sqrt{3}$；（2）$S_1:S_2 = 3:4$。