《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

9 如图,已知 $ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ AC $、$ BC $ 是 $ \odot O $ 的弦,直径 $ DE \perp AC $ 于点 $ F $。如果 $ AC = 12 $, $ BC = 5 $,那么 $ DF = $9。

答案： 9

10 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ AC = 4 $, $ \cos A = \frac{1}{4} $,点 $ P $ 是边 $ AB $ 上的一点,以 $ PA $ 为半径作 $ \odot P $,截 $ AC $、$ BC $ 得到的弦 $ AD $、$ EF $ 长度相等,则 $ AP $ 的长为$\frac{8\sqrt{15}-8}{7}$。

答案： $\frac{8\sqrt{15}-8}{7}$

11 如图,已知 $ \triangle ABC $ 是等边三角形,以边 $ BC $ 的中点 $ O $ 为圆心、$ \frac{1}{2}BC $ 长为半径作 $ \odot O $,交 $ AB $、$ AC $ 于点 $ D $、$ E $。求证: $ \overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{DE} = \overset{\frown}{EC} $。

答案： 联结OD、OE,因为△ABC是等边三角形,所以∠B=∠C=60°。因为OB=OD=OE=OC,所以△DBO和△EOC都是等边三角形,得∠BOD=∠DOE=∠EOC=60°,所以$\widehat{BD}=\widehat{DE}=\widehat{EC}$。

12 如图,已知 $ \odot O_1 $ 与 $ \odot O_2 $ 是等圆,$ P $ 是 $ O_1O_2 $ 的中点,过 $ P $ 作直线分别交 $ \odot O_1 $ 于点 $ A $、$ B $,交 $ \odot O_2 $ 于点 $ C $、$ D $,求证:$ AB = CD $。

答案： 过点O₁、O₂分别作O₁E⊥AD,O₂F⊥AD,则△O₁EP≌△O₂FP,所以O₁E=O₂F,即有AB=CD。