《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

24 如图,某公路直线路段MN内限速60千米/时,为了检测车辆是否超速,在公路MN旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟,已知$∠CAN= 45^{\circ },∠CBN= 60^{\circ },BC= 200$米,此车超速了吗?请说明理由。(参考数据:$\sqrt {2}\approx 1.41,\sqrt {3}\approx 1.73$)

答案： $AB=100\sqrt{3}-100$，$t=(100\sqrt{3}-100)÷ 5\approx 14.6$（米/秒），60千米/时≈16.67米/秒，14.6＜16.67，所以没有超速。

25 为方便市民通行,某广场计划对坡角为$30^{\circ }$,坡长为60米的斜坡AB进行改造,在斜坡中点D处挖去部分坡体(阴影表示),修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE。
(1)若修建的斜坡BE的坡角为$36^{\circ }$,则平台DE的长约为多少米?
(2)距离A点27米远的G处是商场主楼,若在D点测得主楼顶部H的仰角为$30^{\circ }$,则主楼GH高约为多少米?
(结果取整数,参考数据:$sin36^{\circ }=0.6,cos36^{\circ }=0.8,tan36^{\circ }=0.7,\sqrt {3}= 1.7$)

答案： 1. （1）
解：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，$AB = 60$米，因为$D$是$AB$中点，所以$AD = BD=\frac{1}{2}AB = 30$米。
过$D$作$DF\perp AC$于$F$，在$Rt\triangle ADF$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$AD = 30$米，根据$\cos A=\frac{AF}{AD}$，则$AF = AD\cos A=30×\cos30^{\circ}=30×\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}$米；$\sin A=\frac{DF}{AD}$，则$DF = AD\sin A = 30×\frac{1}{2}=15$米。
因为$DE// AC$，所以$\angle BED=\angle BAC = 30^{\circ}$，在$Rt\triangle BDE$中，$\angle BED = 36^{\circ}$，$BD = 30$米，$\cos\angle BED=\frac{DE}{BD}$，$\sin\angle BED=\frac{BF}{BD}$。
设$DE = x$米，则$BE=\frac{x}{\cos36^{\circ}}$，$BF = BD\sin36^{\circ}=30×0.6 = 18$米。
又因为$DF = 15$米，$BF + EF=DF$（$EF = DE\tan36^{\circ}$），即$18 + 0.7x=15$（错误，重新分析：过$B$作$BG\perp DE$交$DE$的延长线于$G$）。
在$Rt\triangle BDG$中，$\angle BDG = 30^{\circ}$，$BD = 30$米，$BG=\frac{1}{2}BD = 15$米，$DG=\frac{\sqrt{3}}{2}BD = 15\sqrt{3}$米。
在$Rt\triangle BEG$中，$\angle BEG = 36^{\circ}$，$\tan\angle BEG=\frac{BG}{EG}$，$EG=\frac{BG}{\tan36^{\circ}}=\frac{15}{0.7}\approx21.4$米。
$DE = DG - EG$，$DG = 15\sqrt{3}\approx15×1.7 = 25.5$米，$DE=25.5 - 21.4\approx4$米。
2. （2）
解：
过$D$作$DM\perp HG$于$M$。
因为$DF\perp AC$，$HG\perp AC$，$DE// AC$，所以四边形$D FGM$是矩形，则$MG = DF = 15$米，$DM = FG$。
$AF = 15\sqrt{3}\approx15×1.7 = 25.5$米，$AG = 27$米，所以$DM=FG=AG - AF=27 - 25.5 = 1.5$米。
在$Rt\triangle DHM$中，$\angle HDM = 30^{\circ}$，$\tan\angle HDM=\frac{HM}{DM}$，则$HM = DM\tan30^{\circ}=1.5×\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.85$米。
$GH=HM + MG$，$GH\approx0.85 + 15\approx16$米。
综上，（1）平台$DE$的长约为$4$米；（2）主楼$GH$高约为$16$米。