《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

13 如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ OC $ 是垂直于 $ AB $ 的半径,过 $ \overset{\frown}{AC} $ 上一点 $ P $ 作弦 $ PE $,分别交 $ OC $ 和 $ \overset{\frown}{BC} $ 于 $ D $、$ E $ 两点,且 $ PO = PD $,试求 $ \overset{\frown}{AP} $ 和 $ \overset{\frown}{BE} $ 之间的数量关系。

答案： 设∠AOP=α,则∠POD=∠PDO=90°-α,所以∠P=∠E=2α,所以∠POE=180°-4α,所以∠BOE=3α,所以$\widehat{BE}=3\widehat{AP}$。

14 如图,已知 $ \odot O $ 的半径 $ OA $ 的长为 2,点 $ B $ 是 $ \odot O $ 上的动点,以 $ AB $ 为半径的 $ \odot A $ 与线段 $ OB $ 相交于点 $ C $, $ AC $ 的延长线与 $ \odot O $ 相交于点 $ D $。设线段 $ AB $ 的长为 $ x $,线段 $ OC $ 的长为 $ y $。
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式,并写出定义域;
(2) 当四边形 $ ABDO $ 是梯形时,求线段 $ OC $ 的长。

答案：
(1)在⊙O与⊙A中,因为OA=OB,AB=AC,所以∠ACB=∠ABC=∠OAB,因此△ABC∽△OAB,则有$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{OA}$,即$\frac{BC}{x}=\frac{x}{2}$,BC=$\frac{1}{2}x^2$。因为OC=OB-BC,所以y关于x的函数解析式为y=2-$\frac{1}{2}x^2$,定义域为0＜x＜2。
(2)①当OD//AB时,有$\frac{BC}{CO}=\frac{AB}{OD}$,即$\frac{\frac{1}{2}x^2}{2-\frac{1}{2}x^2}=\frac{x}{2}$,整理得x²+2x-4=0,解得x=-1±√5(负值舍去)。因此AB=√5-1,这时AB≠OD,符合题意。所以OC=2-$\frac{1}{2}x^2$=2-$\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)^2$=√5-1。 ②当BD//OA时,设∠ODA=α。因为BD//OA,OA=OD,所以∠BDA=∠OAD=∠ODA=α。又因为OB=OD,所以∠BOA=∠OBD=∠ODB=2α。因为AB=AC,OA=OB,所以∠OAB=∠ABC=∠ACB=∠COA+∠CAO=3α。由∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°,可得2α+3α+3α=180°,则α=22.5°,∠BOA=45°。因此∠ODB=∠OBD=45°,∠BOD=90°,所以BD=2√2。因为BD//OA,所以$\frac{BC}{CO}=\frac{BD}{OA}$,即$\frac{2-y}{y}=\frac{2\sqrt{2}}{2}$,解得y=2√2-2,则OC=2√2-2。由于BD≠OA,OC=2√2-2符合题意。所以当四边形ABDO是梯形时,线段OC的长为√5-1或2√2-2。