《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

6 已知$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$,且相似比为$3:4$,$S_{\triangle ABC}= 2cm^{2}$,则$S_{\triangle DEF}= $$\frac{32}{9}$$cm^{2}$。

答案： $\frac{32}{9}$

7 如图,点$D是\triangle ABC的边AB$上一点,如果$\angle ACD= \angle B$,并且$AD:AC= 1:\sqrt{3}$,那么$AD:BD= $1:2。

答案： 1:2

8 如图,在矩形$ABCD$中,$AB= 3$,$AD= 5$,点$E在AD$上,且$AE:ED= 1:4$,联结$BE$,射线$EF\perp BE交边DC于点F$,则$CF$的长为$\frac{5}{3}$。

答案： $\frac{5}{3}$

9 如图,在等腰$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$AD\perp BC$,$CE\perp AB$,垂足分别为$D$、$E$。
(1) 求证:$\angle CAD= \angle ECB$;
(2) 点$F是AC$的中点,联结$DF$,求证:$BD^{2}= FC\cdot BE$。

答案： 9
(1)
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB。
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ABC + ∠ECB = ∠ACB + ∠CAD = 90°。
∴∠CAD = ∠ECB。
(2)
∵AD⊥BC，
∴DB = CD。
∵F是AC的中点，
∴FD = FC。
∵CE⊥AB，
∴DE = DB。
∵∠ABC = ∠ACB，
∴△FCD∽△DBE，
∴$\frac{FC}{CD}$ = $\frac{DB}{BE}$，
∴BD·CD = FC·BE。
∵DB = CD，
∴BD² = FC·BE。

10 如图,已知四边形$ABCD$是菱形,对角线$AC$、$BD相交于点O$,$DH\perp AB$,垂足为点$H$,交$AC于点E$,联结$HO并延长交CD于点G$。
求证:(1)$\angle DHO= \frac{1}{2}\angle BCD$;
(2)$HG\cdot AE= 2DE\cdot CG$。

答案： 10
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AB = CD，AC⊥BD，DO = BO，∠ACD = $\frac{1}{2}$∠BCD。
∵DH⊥AB，
∴∠DHA = ∠DHB = 90°。
∵AB//CD，
∴∠DHA = ∠HDC = 90°。
∴∠BDH + ∠BDC = 90°。
∵∠COD = 90°，
∴∠ACD + ∠BDC = 90°，
∴∠BDH = ∠ACD = $\frac{1}{2}$∠BCD。
∵∠DHB = 90°，DO = BO，
∴OD = OH，
∴∠BDH = ∠DHO，
∴∠DHO = $\frac{1}{2}$∠BCD。
(2)
∵AB//CD，
∴$\frac{HO}{OG}$ = $\frac{OB}{OD}$ = 1，
∴OH = OG = $\frac{1}{2}$HG。
∵在菱形ABCD中，AD = CD，
∴∠DCA = ∠DAC。
∵∠AED = ∠HDC + ∠DCA，∠HGC = ∠HDC + ∠DHG，又
∵∠DHO = ∠DCA，
∴∠AED = ∠HGC，
∴△AED∽△CGO，
∴$\frac{DE}{OG}$ = $\frac{AE}{CG}$，
∴OG·AE = CG·DE，
∴$\frac{1}{2}$HG·AE = DE·CG，
∴HG·AE = 2DE·CG。