《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

10 如图,在梯形 $ABCD$中,$AD// BC$,$AD = 32cm$,$BC = 60cm$,延长两腰 $BA$、$CD$交于点 $O$,$OF\perp BC$,交 $AD$于点 $E$,$EF = 35cm$,则 $OF = $75cm。

答案： 75cm

11 如图,$AB$和 $CD$两根电线杆,分别在高 $10m$的 $A$处和 $15m$的 $C$处用钢索将两杆固定,求钢索 $AD$与钢索 $BC$的交点 $M$离地面的高度 $MH$。

答案： 因为$MH// AB$，所以$\frac{MH}{AB}=\frac{HD}{BD}$。又$MH// CD$，所以$\frac{MH}{CD}=\frac{BH}{BD}$，所以$\frac{MH}{AB}+\frac{MH}{CD}=\frac{HD}{BD}+\frac{BH}{BD}=1$，所以$MH=\frac{AB\cdot CD}{AB+CD}=\frac{10×15}{10+15}=6(m)$。

12 如图,在$\triangle ABC$中,$BC$为60,边 $BC$上的高 $AH$为40；矩形 $DEFG$的顶点 $D$、$E$在边 $BC$上,顶点 $G$、$F$分别在边 $AB$、$AC$上。设 $EF$的长为 $x$。
(1) 用含 $x$的代数式表示矩形 $DEFG$的面积 $y$；
(2) 当矩形 $DEFG$成为正方形时,求相应的 $x$值。

答案：
(1)设$AH$与$GF$的交点为$M$，$\because EF=x$，$AH=40$，$\therefore AM=40 - x$。$\because$矩形$DEFG$的顶点$D$、$E$在边$BC$上，顶点$G$、$F$分别在边$AB$、$AC$上，$\therefore GF// BC$，$\therefore \triangle AGF\backsim \triangle ABC$，$\therefore \frac{AM}{AH}=\frac{GF}{BC}$，即$\frac{40 - x}{40}=\frac{GF}{60}$，$GF = 60 - \frac{3}{2}x$，$\therefore y = EF\cdot GF=x\left(60 - \frac{3}{2}x\right)$，即$y = -\frac{3}{2}x^{2}+60x$ ($0＜x＜40$)。　　
(2)当$DEFG$为正方形时，$EF = GF$，即$x = 60 - \frac{3}{2}x$，解得$x = 24$。

13 已知：如图,在四边形 $ABCD$中,$AD ＜ BC$,点 $E$在 $AD$的延长线上,$\angle ACE= \angle BCD$,$EC^{2}= ED\cdot EA$。
(1) 求证：四边形 $ABCD$为梯形；
(2) 如果 $\frac{EC}{EA}= \frac{AB}{AC}$,求证：$AB^{2}= ED\cdot BC$。

答案：
(1)$\because EC^{2}=ED\cdot EA$，$\therefore \frac{EC}{ED}=\frac{EA}{EC}$。而$\angle E=\angle E$，$\therefore \triangle ECA\backsim \triangle EDC$，$\therefore \angle EAC=\angle ECD$。又$\because \angle ACE=\angle BCD$，$\therefore \angle ACE - \angle ACD=\angle BCD - \angle ACD$，即$\angle ECD=\angle BCA$，$\therefore \angle EAC=\angle BCA$，$\therefore AD// BC$，$\because AD＜BC$，故四边形$ABCD$是梯形。　　
(2)由
(1)可知$\triangle EDC\backsim \triangle ECA$，$\therefore \frac{EC}{EA}=\frac{CD}{AC}$即得$\frac{EC}{CD}=\frac{EA}{AC}$，而由已知$\frac{EC}{EA}=\frac{AB}{AC}$可得$\frac{EC}{AB}=\frac{EA}{AC}$，$\therefore CD=AB$，即梯形$ABCD$是等腰梯形。$\therefore \angle B=\angle BCD$。而$\angle BCD=\angle EDC$，$\therefore \angle B=\angle EDC$。由
(1)知$\angle BCA=\angle ECD$，$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle EDC$。$\therefore \frac{AB}{ED}=\frac{BC}{CD}$。而$AB = CD$，$\therefore AB^{2}=ED\cdot BC$，故$AB^{2}=ED\cdot BC$得证。