《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

12 $A$市在台风期间为了防灾, 密切关注台风动向。$A市的气象台测得台风中心在A$市的正南方向 400 千米的$B$处, 正以 30 千米/时的速度沿北偏东$30^{\circ}方向往C$移动, 距离台风中心 250 千米的范围内是受台风影响的区域。
(1)$A$市是否会受这次台风的影响? 为什么?
(2)若$A$市会受到台风影响, 那么台风影响$A$市的持续时间有多长?

答案：
(1)A市与台风中心的最短距离为200千米，小于250千米，所以受影响。
(2)10小时

13 如图, 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 4$,$\cos A= \frac{1}{4}$, 点$P是边AB$上的动点, 以$PA为半径作\odot P$。若$\odot C的半径等于\sqrt{2}$, 且$\odot P与\odot C$的公共弦长为 2, 求$AP$的长。

答案： 设⊙P与⊙C的公共弦EF交CP于点G,则EF=2,CE=CF=$\sqrt{2}$,所以△CEF为等腰直角三角形,所以∠ECP=45°,所以CG=EG=1。过点P作PM⊥AC于点M,设AP=x，所以AM=$\frac{x}{4}$,PM=$\frac{\sqrt{15}}{4}x$,CM=4−$\frac{x}{4}$。在Rt△PCM中,PC=$\sqrt{PM^{2}+CM^{2}}=\sqrt{(4 - \frac{x}{4})^{2}+(\frac{\sqrt{15}x}{4})^{2}}=\sqrt{x^{2}-2x+16}$,所以PG=CP±CG=$\sqrt{x^{2}-2x+16}$±1(圆心在公共弦的同侧或异侧)。在Rt△PEG中,PE²=PG²+EG²,所以PE²=(CP±CG)²+EG²=$(\sqrt{x^{2}-2x+16}\pm1)^{2}+1^{2}=AP²=x²$,解得x=$\frac{65}{16}$。经检验，AP的长为$\frac{65}{16}$。

14 如图, 已知等边三角形$ABC$的边长为 4, 三个等圆$\odot A$、$\odot B$、$\odot C$的圆心分别在三角形的顶点上, 其半径长为$r$。$\odot D与\odot A$、$\odot B$、$\odot C$都相切。
(1)若$r= 1$, 符合条件的$\odot D$你能画出几个?
(2)若$r= 2$, 求出符合条件的$\odot D$的半径。

答案：

(1)8个　
(2)如图,rD=DA−2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$−2或rD=DA+2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+2。